Konu anlatımı
Bir noktanın bir doğruya göre simetriği, doğru bir ayna gibi düşünüldüğünde noktanın görüntüsüdür. Eksenlere göre simetriyi TYT'den biliyorsun; AYT'de doğru eğik olabilir. Bu alt başlıkta simetrik noktayı dikme ayağıyla bulmayı, özel doğrulardaki kısa kuralları ve simetriyle en kısa yol sorularını göreceksin.
Tanım ve yöntem
P noktasının d doğrusuna göre simetriği P′ ise d doğrusu, [PP′] doğru parçasının orta dikmesidir: PP′ doğrusu d'ye diktir ve [PP′] doğru parçasının orta noktası d üzerindedir. Bu yüzden önce P'den d'ye inen dikmenin ayağı H bulunur. H orta nokta olduğundan P′ noktasının koordinatları, H'nin koordinatlarının iki katından P'nin koordinatları çıkarılarak bulunur. |PP′| uzunluğu, P'nin d'ye uzaklığının iki katıdır.
Kısa yol
d doğrusu ax + by + c = 0 ve nokta P(x₀, y₀) olsun. t = (a·x₀ + b·y₀ + c)/(a² + b²) sayısı hesaplanırsa dikme ayağı H(x₀ − a·t, y₀ − b·t), simetrik nokta P′(x₀ − 2·a·t, y₀ − 2·b·t) olur. Bunun nedeni, doğruya dik yönde ilerlerken x'teki değişimin y'deki değişime oranının a : b olmasıdır. P(−4, 4) ve 3x − y − 4 = 0 için t = (−12 − 4 − 4)/10 = −2 bulunur; H(2, 2) ve P′(8, 0) olur.
Özel doğrular
P(x, y) noktasının x eksenine göre simetriği (x, −y), y eksenine göre simetriği (−x, y) noktasıdır. y = x doğrusuna göre simetride koordinatlar yer değiştirir: (y, x). y = −x doğrusuna göre simetride koordinatlar yer değiştirir ve işaretleri değişir: (−y, −x). x = a doğrusuna göre simetrik nokta (2a − x, y), y = b doğrusuna göre simetrik nokta (x, 2b − y) olur.
En kısa yol
A ve B noktaları d doğrusunun aynı tarafında olsun ve d üzerinde bir P noktası aransın. A'nın d'ye göre simetriği A′ ise her P için |AP| = |A′P| olur; bu yüzden |AP| + |PB| = |A′P| + |PB| toplamı, A′, P ve B doğrusal olduğunda en küçük değerini alır. En küçük değer |A′B| uzunluğudur ve P noktası A′B doğrusu ile d'nin kesişimidir. Noktalar d'nin farklı taraflarındaysa simetri gerekmez; en kısa yol [AB] doğru parçasının kendisidir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. P(−4, 4) noktasının 3x − y − 4 = 0 doğrusuna göre simetriği olan noktanın koordinatları nedir?
Çözüm. Verilen doğrunun eğimi 3 olduğundan P'den geçen dik doğrunun eğimi −1/3 olur: y − 4 = −(x + 4)/3, yani x + 3y − 8 = 0. İki doğrunun kesişimi için y = 3x − 4 yerine yazılır: x + 9x − 12 − 8 = 0, x = 2 ve y = 2. Dikme ayağı H(2, 2) noktasıdır. H orta nokta olduğundan P′ = (2·2 + 4, 2·2 − 4) = (8, 0) bulunur.
Örnek 2. A(2, −1) ve B(10, 10) noktaları ile y = 2x doğrusu veriliyor. Bu doğru üzerindeki bir P noktası için |AP| + |PB| toplamının en küçük değeri kaç birimdir? Bu durumda P noktasının koordinatları nedir?
Çözüm. Doğru 2x − y = 0 biçiminde yazılır. A için 2·2 + 1 = 5, B için 20 − 10 = 10 bulunur; işaretler aynı olduğundan noktalar doğrunun aynı tarafındadır. A'nın simetriği için t = 5/5 = 1 ve A′ = (2 − 2·2·1, −1 + 2·1·1) = (−2, 1) olur. En küçük toplam |A′B| = √(12² + 9²) = 15 birimdir. A′B doğrusunun eğimi 9/12 = 3/4 olduğundan denklemi y − 1 = (3/4)·(x + 2) biçimindedir. y = 2x ile kesişimde 2x − 1 = (3/4)·(x + 2), yani 8x − 4 = 3x + 6 ve x = 2 bulunur; P(2, 4) noktasıdır. Kontrol: |AP| = 5 ve |PB| = 10.
Örnek 3. P(6, −2) noktasının 5x + 12y − 32 = 0 doğrusuna göre simetriği P′ noktasıdır. |PP′| kaç birimdir?
Çözüm. P'nin doğruya uzaklığı |5·6 + 12·(−2) − 32|/√(25 + 144) = |−26|/13 = 2 birimdir. Doğru, [PP′] doğru parçasını dik ortaladığı için |PP′| bu uzaklığın iki katıdır: 4 birim. Simetrik noktanın koordinatları sorulmadığında dikme ayağını bulmaya gerek yoktur.
Sık yapılan hatalar
- Dikme ayağını simetrik nokta sanmak; dikme ayağı, nokta ile simetriğinin orta noktasıdır.
- y = x ve y = −x doğrularına göre simetri kurallarını karıştırmak; ikincisinde işaretler de değişir.
- En kısa yol sorusunda noktaların doğrunun aynı tarafında olup olmadığını denetlememek.
- En kısa yolu |AB| sanmak; aynı taraftaki noktalarda en kısa yol |A′B| olur.
- Simetrik nokta için dikme ayağını bul; ayak, orta noktadır.
- |PP′|, noktanın doğruya uzaklığının iki katıdır.
- y = x: (y, x); y = −x: (−y, −x); x = a: (2a − x, y); y = b: (x, 2b − y).
- En kısa yol |A′B| olur; P noktası A′B doğrusu ile d'nin kesişimidir.