Konu anlatımı
Bir doğrunun x ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açıya eğim açısı, bu açının tanjantına eğim dendiğini TYT'den biliyorsun. AYT'de eğim, açı sorularının da aracıdır: iki doğru arasındaki açı eğimlerden bulunur. Bu alt başlıkta eğim açısıyla eğim arasındaki geçişi, iki doğru arasındaki açıyı, verilen açıyı yapan doğruları ve açıortayın eğimini göreceksin.
Eğim açısı ve özel değerler
Eğim açısı α, 0° ile 180° arasındadır ve m = tan α olur. Eğim 1 ise α = 45°, √3 ise 60°, √3/3 ise 30° olur. Eğim negatifse açı geniştir: eğim −1 ise α = 135°, −√3 ise 120°, −√3/3 ise 150° olur. x eksenine paralel doğrunun eğim açısı 0°, y eksenine paralel doğrunun eğim açısı 90°'dir; ikincisinde eğim tanımsızdır.
Eğim açılarının farkı
Kesişen iki doğru dört açı oluşturur; bu açıların ölçüleri θ ve 180° − θ olur. Eğim açıları α₁ ve α₂ olan doğrular arasındaki açılardan biri bu iki açının farkıdır. Eğim açıları 60° ve 45° olan doğrular arasındaki dar açı 15°, eğim açıları 135° ve 60° olan doğrular arasındaki dar açı 75°'dir. Doğrulardan biri y eksenine paralelse öbürünün eğim açısının 90°'den farkı alınır.
Tanjant bağıntısı
Eğim açıları özel açı değilse farkın tanjantı kullanılır. Eğimleri m₁ ve m₂ olan iki doğru arasındaki dar açı θ için tan θ = |(m₁ − m₂)/(1 + m₁·m₂)| olur. Payda sıfırsa, yani m₁·m₂ = −1 ise doğrular diktir. Eğimleri 2 ve −3 olan doğrularda tan θ = |5/(−5)| = 1 ve θ = 45° bulunur. Bağıntı tersinden de kullanılır: bir doğrunun eğimi ve aradaki açı verilirse öbür doğrunun eğimi için genellikle iki değer çıkar.
Açıortayın eğimi
Orijinden çıkan iki ışın arasındaki açının açıortayını bulmak için ışınlar üzerinde orijine eşit uzaklıkta iki nokta alınır; bu iki noktanın koordinatları toplanınca elde edilen nokta açıortay üzerindedir. Bunun nedeni, dört kenarı eş olan paralelkenarın, yani eşkenar dörtgenin köşegeninin açıyı ikiye bölmesidir. x ekseninin pozitif yönü ile orijinden P(5, 12) noktasına giden ışın için |OP| = 13 olduğundan (13, 0) ve (5, 12) noktaları alınır; toplam (18, 12) noktasıdır ve açıortayın eğimi 12/18 = 2/3 olur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. √3·x − y + 4 = 0 ve x + y − 6 = 0 doğruları arasındaki dar açı kaç derecedir?
Çözüm. Birinci doğrunun eğimi √3 olduğundan eğim açısı 60°'dir. İkinci doğrunun eğimi −1 olduğundan eğim açısı 135°'dir. Eğim açılarının farkı 135° − 60° = 75° olur. 75° dar açı olduğundan doğrular arasındaki dar açı 75°'dir; öbür açı 105° olur.
Örnek 2. P(1, 4) noktasından geçen ve x − 3y + 6 = 0 doğrusuyla 45°'lik açı yapan doğruların denklemlerini bulunuz.
Çözüm. Verilen doğrunun eğimi 1/3 olur. Aranan doğrunun eğimi m ise |(m − 1/3)/(1 + m/3)| = tan 45° = 1 olmalıdır. m − 1/3 = 1 + m/3 eşitliğinden m = 2, m − 1/3 = −1 − m/3 eşitliğinden m = −1/2 bulunur. Doğrular y − 4 = 2·(x − 1), yani y = 2x + 2 ve y − 4 = −(1/2)·(x − 1), yani x + 2y − 9 = 0 olur. Bu iki doğru birbirine diktir; çünkü eğimlerinin çarpımı −1 eder.
Örnek 3. Orijinden P(5, 12) noktasına giden ışın ile x ekseninin pozitif yönü arasındaki açının açıortayı olan doğrunun eğimi kaçtır?
Çözüm. |OP| = √(25 + 144) = 13 birimdir. x ekseninin pozitif yönü üzerinde orijine 13 birim uzaklıktaki nokta (13, 0) noktasıdır. Bu iki noktanın koordinatları toplamı (18, 12) noktasını verir; O, (13, 0), (18, 12) ve (5, 12) noktaları bir eşkenar dörtgen oluşturur ve orijinden geçen köşegen açıortaydır. Açıortayın eğimi 12/18 = 2/3 olur.
Sık yapılan hatalar
- Negatif eğimde eğim açısını dar açı almak; eğim −1 ise eğim açısı 45° değil 135° olur.
- Tanjant bağıntısında paydayı 1 − m₁·m₂ yazmak.
- Verilen açıyı yapan doğruları ararken mutlak değerin ikinci çözümünü atlamak.
- İki doğru arasındaki açıyı eğimlerin farkı sanmak; fark alınan, eğimler değil eğim açılarıdır.
- m = tan α; negatif eğimde eğim açısı geniştir.
- Özel açılarda eğim açılarının farkını al.
- tan θ = |(m₁ − m₂)/(1 + m₁·m₂)|.
- Açıortay için ışınlar üzerinde orijine eşit uzaklıkta iki nokta al ve koordinatlarını topla.