Konu anlatımı
Köşelerinin koordinatları bilinen bir üçgenin ya da dörtgenin alanı, kenar uzunluklarını bulmadan da hesaplanabilir. Aynı hesap üç noktanın doğrusal olup olmadığını da gösterir. Bu alt başlıkta koordinatlarla alanı, alan koşulunu sağlayan noktayı bulmayı, ağırlık merkezini ve doğrusallığı göreceksin.
Üçgenin alanı
Köşeleri A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) ve C(x₃, y₃) olan üçgenin alanı ½·|x₁·(y₂ − y₃) + x₂·(y₃ − y₁) + x₃·(y₁ − y₂)| olur. Bağıntıyı kullanmak istemezsen iki yol daha vardır. Birincisi taban ile yüksekliktir: bir kenarın uzunluğu ve karşı köşenin o kenarı taşıyan doğruya uzaklığı bulunur. İkincisi çerçeve yöntemidir: üçgen, kenarları eksenlere paralel bir dikdörtgenin içine alınır ve dikdörtgenin alanından köşelerde kalan dik üçgenlerin alanları çıkarılır.
Dörtgenin alanı
Dışbükey bir dörtgenin alanı, bir köşegenle iki üçgene ayrılıp bu üçgenlerin alanları toplanarak bulunur. Köşelerden biri orijinse alan bağıntısı kısalır: O(0, 0), P(x₁, y₁) ve Q(x₂, y₂) için alan ½·|x₁·y₂ − x₂·y₁| olur. Köşeleri A(0, 0), B(6, 2), C(7, 5) ve D(2, 6) olan dörtgende [AC] köşegeni çizilirse ABC üçgeninin alanı ½·|6·5 − 7·2| = 8, ACD üçgeninin alanı ½·|7·6 − 2·5| = 16 birimkaredir; dörtgenin alanı 24 birimkare olur.
Alan koşulu ve doğrusallık
Alan verilip bir köşe sorulduğunda bilinmeyen koordinat bağıntıda yerine yazılır; mutlak değer iki çözüm verir. Alan sıfır çıkarsa üç nokta aynı doğru üzerindedir. Doğrusallık eğimle de denetlenir: A, B ve C doğrusalsa AB ve BC doğrularının eğimleri eşittir. A(−1, 1), B(2, 7) ve C(4, 11) noktalarında iki eğim de 2 olduğundan noktalar doğrusaldır.
Ağırlık merkezi
Köşeleri A, B ve C olan üçgenin ağırlık merkezi G((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3) noktasıdır. İki köşe ve G bilinirse üçüncü köşenin koordinatları, G'nin koordinatlarının üç katından öbür iki köşenin koordinatları çıkarılarak bulunur. Bir köşeden çizilen kenarortayın uzunluğu, o köşe ile karşı kenarın orta noktası arasındaki uzaklıktır; köşenin G'ye uzaklığı bunun üçte ikisidir. G noktası köşelere birleştirilince alanları eşit üç üçgen oluşur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Köşeleri A(−2, −1), B(6, 1) ve C(2, 7) olan üçgenin alanı kaç birimkaredir?
Çözüm. Bağıntıda yerine yazarız: ½·|(−2)·(1 − 7) + 6·(7 + 1) + 2·(−1 − 1)| = ½·|12 + 48 − 4| = 28 birimkare. Çerçeve yöntemiyle kontrol: üçgeni içine alan dikdörtgenin kenarları 8 ve 8 birim, alanı 64 birimkaredir. Köşelerde kalan dik üçgenlerin alanları 8·2/2 = 8, 4·6/2 = 12 ve 4·8/2 = 16 birimkaredir. 64 − 36 = 28 bulunur.
Örnek 2. A(1, 2) ve B(5, 4) noktaları veriliyor. y ekseni üzerindeki bir C noktası için ABC üçgeninin alanı 9 birimkare olduğuna göre C noktasının ordinatı hangi değerleri alabilir?
Çözüm. C(0, c) olsun. Alan ½·|1·(4 − c) + 5·(c − 2) + 0·(2 − 4)| = ½·|4c − 6| olur. ½·|4c − 6| = 9 eşitliğinden |4c − 6| = 18 yazılır. 4c − 6 = 18 için c = 6, 4c − 6 = −18 için c = −3 bulunur. C noktası (0, 6) ya da (0, −3) olabilir.
Örnek 3. ABC üçgeninde A(−1, 4), B(5, −2) ve ağırlık merkezi G(2, 3) noktasıdır. C köşesinin koordinatları nedir? C köşesinden çizilen kenarortay kaç birimdir?
Çözüm. C köşesinin apsisi 3·2 − (−1) − 5 = 2, ordinatı 3·3 − 4 − (−2) = 7 olur; C(2, 7) noktasıdır. [AB] kenarının orta noktası M((−1 + 5)/2, (4 − 2)/2) = (2, 1) noktasıdır. C ile M aynı düşey doğru üzerinde olduğundan kenarortayın uzunluğu |CM| = 7 − 1 = 6 birimdir. Kontrol: |CG| = 7 − 3 = 4 birim, yani kenarortayın üçte ikisidir.
Sık yapılan hatalar
- Alan bağıntısında ½ çarpanını ya da mutlak değeri unutmak.
- Dörtgenin alanını bulurken köşeleri sırasıyla almamak; köşegen, karşılıklı iki köşeyi birleştirmelidir.
- Alan koşulunda mutlak değerin tek çözümüyle yetinmek.
- Ağırlık merkezinden köşe bulurken G'nin koordinatlarını 3 yerine 2 ile çarpmak.
- Alan = ½·|x₁·(y₂ − y₃) + x₂·(y₃ − y₁) + x₃·(y₁ − y₂)|; sıfırsa noktalar doğrusaldır.
- Köşelerden biri orijinse alan ½·|x₁·y₂ − x₂·y₁| olur.
- Üçüncü köşe için G'nin koordinatlarının üç katından öbür iki köşeyi çıkar.
- Köşenin ağırlık merkezine uzaklığı kenarortayın üçte ikisidir.