Konu anlatımı
Bir noktanın bir doğruya uzaklığı, noktadan doğruya inen dikmenin uzunluğudur ve |a·x₀ + b·y₀ + c|/√(a² + b²) bağıntısıyla bulunur. Bağıntının kendisini TYT'den biliyorsun; AYT'de asıl iş onu nerede kullanacağını görmektir. Bu alt başlıkta üçgende yükseklik ve alanı, teğet çemberi, uzaklığı verilen noktaları ve açıortay doğrularını göreceksin.
Yükseklik ve alan
Köşeleri verilen bir üçgende bir kenara ait yükseklik, karşı köşenin o kenarı taşıyan doğruya uzaklığıdır. Önce kenarın doğru denklemi yazılır, sonra köşe bağıntıda yerine konur. Kenarın uzunluğu iki nokta arasındaki uzaklıkla bulunur ve alan taban ile yüksekliğin çarpımının yarısı olarak hesaplanır. Orijinin eksenleri (p, 0) ve (0, q) noktalarında kesen doğruya uzaklığı, dik kenarları |p| ve |q| olan dik üçgenin hipotenüse ait yüksekliğidir: |p·q|/√(p² + q²). Eksenleri (6, 0) ve (0, 8) noktalarında kesen doğru için bu uzaklık 48/10 = 4,8 birimdir.
Teğet çember
Bir doğru bir çembere teğetse çemberin merkezinin doğruya uzaklığı yarıçapa eşittir. Bu yüzden merkezi ve teğet olduğu doğru bilinen çemberin yarıçapı tek adımda bulunur. M(3, 1) merkezli çember 8x + 15y − 5 = 0 doğrusuna teğetse yarıçapı |24 + 15 − 5|/17 = 2 birimdir. Uzaklık yarıçaptan küçükse doğru çemberi iki noktada keser, büyükse kesmez.
Uzaklığı verilen noktalar
Bir doğruya uzaklığı d olan noktalar, o doğrunun iki yanındaki iki paralel doğruyu oluşturur. Nokta bir eksen ya da başka bir doğru üzerinde aranıyorsa koordinatı tek bilinmeyenle yazılır ve |a·x₀ + b·y₀ + c| = d·√(a² + b²) denklemi çözülür. Mutlak değer iki durum verdiği için genellikle iki nokta bulunur. a·x₀ + b·y₀ + c ifadesinin işareti, noktanın doğrunun hangi tarafında olduğunu gösterir: iki nokta için işaretler aynıysa noktalar doğrunun aynı tarafındadır.
Açıortay doğruları
Kesişen iki doğruya eşit uzaklıktaki noktalar, bu doğruların oluşturduğu açıların açıortayları üzerindedir. Bu noktalar için iki uzaklık bağıntısı eşitlenir: |a₁x + b₁y + c₁|/√(a₁² + b₁²) = |a₂x + b₂y + c₂|/√(a₂² + b₂²). Mutlak değerler artı ve eksi işaretle iki ayrı doğru verir. Bu iki açıortay doğrusu her zaman birbirine diktir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Köşeleri A(1, 6), B(−2, 2) ve C(6, −4) olan üçgende A köşesinden BC doğrusuna inen yükseklik kaç birimdir? Üçgenin alanı kaç birimkaredir?
Çözüm. BC doğrusunun eğimi (−4 − 2)/(6 + 2) = −3/4 olur; B noktasından geçen bu doğrunun denklemi 3x + 4y − 2 = 0 biçiminde yazılır. A'nın bu doğruya uzaklığı |3·1 + 4·6 − 2|/5 = 25/5 = 5 birimdir. |BC| = √(64 + 36) = 10 birim olduğundan alan 10·5/2 = 25 birimkaredir.
Örnek 2. x ekseni üzerinde olan ve 3x − 4y + 6 = 0 doğrusuna uzaklığı 3 birim olan noktaları bulunuz.
Çözüm. Nokta P(p, 0) olsun. Uzaklık |3p − 0 + 6|/5 = 3 olduğundan |3p + 6| = 15 yazılır. 3p + 6 = 15 eşitliğinden p = 3, 3p + 6 = −15 eşitliğinden p = −7 bulunur. Aranan noktalar (3, 0) ve (−7, 0) noktalarıdır; bu iki nokta doğrunun farklı taraflarındadır.
Örnek 3. 3x − 4y + 2 = 0 ve 4x + 3y − 1 = 0 doğrularına eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu doğruların denklemlerini bulunuz.
Çözüm. İki doğruda da √(a² + b²) = 5 olduğundan |3x − 4y + 2| = |4x + 3y − 1| yazılır. İfadeler eşit alınırsa 3x − 4y + 2 = 4x + 3y − 1, yani x + 7y − 3 = 0 bulunur. İfadeler ters işaretli alınırsa 3x − 4y + 2 = −4x − 3y + 1, yani 7x − y + 1 = 0 bulunur. Bu iki açıortay doğrusu birbirine diktir: 1·7 + 7·(−1) = 0.
Sık yapılan hatalar
- Doğru denklemini ax + by + c = 0 biçimine getirmeden bağıntıyı uygulamak.
- Uzaklığı verilen nokta sorularında mutlak değerin ikinci çözümünü atlamak.
- Açıortay doğrularından yalnız birini yazmak; kesişen iki doğrunun iki açıortay doğrusu vardır.
- Yüksekliği bulurken köşeyi yanlış doğrunun denkleminde yerine koymak; köşe, karşı kenarı taşıyan doğrunun denkleminde yerine konur.
- Yükseklik, köşenin karşı kenarı taşıyan doğruya uzaklığıdır.
- Teğet çemberde merkezin doğruya uzaklığı yarıçaptır.
- Uzaklık verilmişse mutlak değer iki nokta verir.
- Açıortay doğruları için iki uzaklık bağıntısını eşitle; birbirine dik iki doğru çıkar.