Konu anlatımı
Eğimleri eşit doğruların paralel, eğimleri çarpımı −1 olan doğruların dik olduğunu TYT'den biliyorsun. Denklem ax + by + c = 0 biçiminde verildiğinde ve katsayılarda bir parametre bulunduğunda, eğime geçmeden katsayılarla çalışmak daha güvenlidir. Bu alt başlıkta paralellik, çakışma ve diklik koşullarını, dik ve paralel doğru yazmanın kısa yolunu ve sabit nokta sorularını göreceksin.
Koşullar
a₁x + b₁y + c₁ = 0 ve a₂x + b₂y + c₂ = 0 doğrularını düşün. a₁·b₂ = a₂·b₁ ise doğruların doğrultuları aynıdır: ya paraleldirler ya da çakışıktırlar. Çakışık olmaları için üç katsayının da orantılı olması gerekir; paydalar sıfır değilken bu koşul a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ biçiminde yazılır. Yalnız ilk iki oran eşitse doğrular paraleldir. a₁·a₂ + b₁·b₂ = 0 ise doğrular diktir. Bu koşullar y eksenine paralel doğrularda da çalışır; eğimle yazılan koşullar ise o durumda kullanılamaz.
Paralel ve dik doğru yazmak
ax + by + c = 0 doğrusuna paralel bütün doğrular ax + by + k = 0 biçimindedir. Bu doğruya dik bütün doğrular ise bx − ay + k = 0 biçimindedir; x ve y'nin katsayıları yer değiştirir ve birinin işareti değişir. İki durumda da k, doğrunun geçtiği noktanın koordinatları yerine yazılarak bulunur. Bir noktadan bir doğruya inen dikmenin ayağı, bu dik doğru ile verilen doğrunun kesişim noktasıdır.
Parametreli sorular
Katsayılarda parametre varsa koşul parametreye göre bir denklem verir. Paralellik koşulundan çıkan her değer için doğruların çakışık olup olmadığını denetlemelisin; çakışma durumu paralellik sayılmaz. Diklik koşulunda böyle bir denetime gerek yoktur.
Sabit nokta ve aynı noktadan geçen doğrular
Denkleminde bir k parametresi bulunan doğrular, k değiştikçe döner; ama çoğu zaman hepsi aynı noktadan geçer. Bu noktayı bulmak için denklem, k ile çarpılan terimler ve geri kalan terimler olarak iki parçaya ayrılır. Eşitliğin her k için sağlanması, iki parçanın da sıfır olmasını gerektirir; iki denklemin ortak çözümü sabit noktadır. Üç doğrunun aynı noktadan geçmesi istenirse ikisinin kesişim noktası bulunur ve üçüncü denklemde yerine yazılır: x + y = 5 ve 2x − y = 1 doğruları (2, 3) noktasında kesişir; kx + 3y = 13 doğrusunun da bu noktadan geçmesi için 2k + 9 = 13, yani k = 2 olmalıdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. (m + 1)x + 2y − 5 = 0 ve 3x + (m − 4)y + 1 = 0 doğruları veriliyor. Bu doğrular m'nin hangi değeri için dik, hangi değerleri için paraleldir?
Çözüm. Diklik için (m + 1)·3 + 2·(m − 4) = 0 olmalıdır: 5m − 5 = 0 ve m = 1. Paralellik için (m + 1)·(m − 4) = 3·2 olmalıdır: m² − 3m − 10 = 0, yani m = 5 ya da m = −2. m = 5 için doğrular 6x + 2y − 5 = 0 ve 3x + y + 1 = 0 olur; x ve y'nin katsayıları iki katken sabit terimler bu oranda değildir, doğrular paraleldir. m = −2 için doğrular −x + 2y − 5 = 0 ve 3x − 6y + 1 = 0 olur; yine sabit terimler orantılı değildir. İki değer de geçerlidir.
Örnek 2. (k + 2)x + (k − 1)y − 3k − 3 = 0 doğrusu k'nin her değeri için hangi noktadan geçer?
Çözüm. Denklemi k'ye göre düzenleriz: k·(x + y − 3) + (2x − y − 3) = 0. Bu eşitlik her k için sağlanacağından x + y − 3 = 0 ve 2x − y − 3 = 0 olmalıdır. İki denklem toplanınca 3x = 6 ve x = 2, buradan y = 1 bulunur. Doğrular k ne olursa olsun (2, 1) noktasından geçer. Kontrol: (k + 2)·2 + (k − 1)·1 − 3k − 3 = 0.
Örnek 3. A(5, −1) noktasından 4x − 3y + 2 = 0 doğrusuna inen dikmenin ayağını ve A'nın bu doğruya uzaklığını bulunuz.
Çözüm. Verilen doğruya dik doğrular 3x + 4y + k = 0 biçimindedir. A noktası için 15 − 4 + k = 0 ve k = −11 olur: 3x + 4y − 11 = 0. İki denklemin ortak çözümü dikme ayağıdır: birinci denklem 4 ile, ikincisi 3 ile çarpılıp toplanınca 25x = 25 ve x = 1, buradan y = 2 bulunur. Dikme ayağı H(1, 2) noktasıdır ve uzaklık |AH| = √(16 + 9) = 5 birimdir.
Sık yapılan hatalar
- Paralellik koşulundan çıkan değerlerde çakışma denetimini yapmamak.
- Diklik koşulunu a₁·b₂ + a₂·b₁ = 0 biçiminde yazmak; doğrusu a₁·a₂ + b₁·b₂ = 0 olur.
- Dik doğru yazarken katsayıların yerini değiştirip işareti değiştirmeyi unutmak.
- Sabit nokta sorusunda parametreye tek bir değer verip tek doğruyla yetinmek; en az iki doğrunun kesişimi gerekir.
- Paralel ya da çakışık: a₁·b₂ = a₂·b₁; dik: a₁·a₂ + b₁·b₂ = 0.
- ax + by + c = 0 doğrusuna paralel doğru ax + by + k = 0, dik doğru bx − ay + k = 0 biçimindedir.
- Sabit nokta için denklemi parametreye göre düzenle, iki parçayı ayrı ayrı sıfıra eşitle.