Konu anlatımı
İki kişi bir sandığı farklı yönlere çektiğinde sandık hangi yöne gider? Bunu bulmak için kuvvetleri vektörel olarak toplaman gerekir. Bu alt başlıkta bileşke vektörü çizimle bulmanın iki yolunu, toplamanın özelliklerini ve vektör çıkarma işlemini göreceksin.
Uç uca ekleme yöntemi
Bu yöntemde vektörlerden biri yerinde bırakılır; ikinci vektör, başlangıcı birincinin ucuna gelecek biçimde kendine paralel taşınır. Üçüncü bir vektör varsa o da ikincinin ucuna eklenir. İlk vektörün başlangıç noktasından son vektörün ucuna çizilen vektör bileşkedir. Vektörleri hangi sırayla eklediğin sonucu değiştirmez: A + B = B + A. Uç uca eklenen vektörler kapalı bir çokgen oluşturuyorsa, yani son vektörün ucu ilk vektörün başlangıcına geliyorsa bileşke sıfırdır. Üç kuvvetin etkisinde dengede duran bir cisimde kuvvetler uç uca eklendiğinde kapalı bir üçgen oluşur.
Paralelkenar yöntemi
İki vektör aynı noktadan başlayacak biçimde taşınır. Birinin ucundan öbürüne, öbürünün ucundan da birincisine paralel çizgiler çizilerek bir paralelkenar tamamlanır. Ortak başlangıç noktasından karşı köşeye giden köşegen bileşke vektördür. İki yöntem aynı sonucu verir; çünkü paralelkenarın karşı kenarı, taşınmış ikinci vektörün kendisidir. Paralelkenar yöntemi, bir noktaya etki eden iki kuvvetin bileşkesini görmek için kullanışlıdır; ikiden çok vektör varsa uç uca ekleme daha pratiktir.
Vektörlerin çıkarılması
A − B işlemi, B'nin tersinin A'ya eklenmesidir: A − B = A + (−B). Bunun için B vektörü ters çevrilir ve A ile toplanır. Aynı noktadan başlatılan iki vektörde fark vektörü, çıkarılan vektörün ucundan öbürünün ucuna çizilen vektördür. Çıkarmada sıra önemlidir: B − A, A − B ile aynı büyüklükte ama zıt yönlüdür. Fizikte her değişim bir çıkarmadır: hız değişimi Δv = son hız − ilk hız, yer değiştirme Δx = son konum − ilk konum. İvme, itme ve bağıl hız sorularında bu vektörel farkı alırsın.
Dik vektörlerin bileşkesi
Birbirine dik iki vektör uç uca eklendiğinde bir dik üçgen oluşur ve bileşke bu üçgenin hipotenüsüdür: R² = A² + B². Bileşkenin yönü, dik kenarların oranından bulunur. 3-4-5, 6-8-10 ve 5-12-13 gibi dik üçgenleri tanımak işlemleri hızlandırır. Dik kenarları 3 ve 4 ile orantılı olan üçgende küçük kenarın karşısındaki açı 37°, büyük kenarın karşısındaki açı 53° alınır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir izci kamp alanından doğuya doğru 40 m, sonra kuzeye doğru 30 m yürüyor. İzcinin yer değiştirmesinin büyüklüğü ve yönü nedir? Aldığı yol kaç metredir?
Çözüm. İki yer değiştirme uç uca eklenir; birbirine dik oldukları için bileşke bir dik üçgenin hipotenüsüdür: √(40² + 30²) = 50 m. Yer değiştirme vektörünün doğu doğrultusuyla yaptığı açının tanjantı 30/40 = 3/4 olduğundan açı 37°'dir; izci başlangıç noktasına göre doğudan kuzeye doğru 37° sapan bir doğrultuda 50 m uzaktadır. Alınan yol ise skaler olduğundan doğrudan toplanır: 40 + 30 = 70 m.
Örnek 2. Bir hokey diski buz üzerinde doğuya doğru 10 m/s hızla kayarken bir sopa darbesiyle yön değiştiriyor ve kuzeye doğru 10 m/s hızla kaymaya başlıyor. Diskin hız değişimi vektörünün büyüklüğü ve yönü nedir?
Çözüm. Hız değişimi Δv = son hız − ilk hız farkıdır; ilk hız ters çevrilip son hıza eklenir. İlk hızın tersi batıya doğru 10 m/s'dir. Kuzeye 10 m/s ile batıya 10 m/s birbirine diktir; bileşkenin büyüklüğü √(10² + 10²) = 10√2 m/s, yani yaklaşık 14,1 m/s'dir ve yönü kuzeybatıdır. Diskin sürati değişmediği hâlde hız vektörü değişmiştir; sopanın diske uyguladığı ortalama kuvvet de hız değişimiyle aynı yönde, kuzeybatıya doğrudur.
Sık yapılan hatalar
- Uç uca eklerken vektörün yönünü ya da uzunluğunu değiştirerek taşımak.
- Paralelkenarda bileşke olarak ortak başlangıçtan çıkmayan köşegeni almak; o köşegen fark vektörünü verir.
- Sürat değişmediğinde hız değişiminin de sıfır olduğunu sanmak; yön değişmişse Δv sıfır değildir.
- Uç uca eklemede bileşke, ilk vektörün başlangıcından son vektörün ucuna çizilir.
- Kapalı çokgen oluşturan vektörlerin bileşkesi sıfırdır.
- A − B = A + (−B); hız değişimi ve yer değiştirme gibi değişimler vektörel farktır.