Konu anlatımı
Kıyıdan karşıya yüzen biri hedefine değil, akıntının sürüklediği başka bir noktaya çıkar. Nehir problemleri, bağıl hareketin en çok soru gelen uygulamasıdır. Bu alt başlıkta karşıya geçiş süresini, sürüklenmeyi ve en kısa süre ile en kısa yol arasındaki farkı göreceksin.
Hareketlerin bağımsızlığı
Kıyıları paralel bir nehirde kayığın yere göre hızı, suya göre hızı ile akıntı hızının vektörel toplamıdır. Bu hızı kıyıya dik ve kıyıya paralel iki bileşene ayır; iki doğrultudaki hareket birbirinden bağımsızdır. Karşı kıyıya yaklaştıran yalnızca kıyıya dik bileşendir: geçiş süresi = nehir genişliği / kıyıya dik hız bileşeni. Akıntı kıyıya paralel olduğundan geçiş süresini değiştirmez; yalnızca kayığı kıyı boyunca taşır. Kayığın kıyı boyunca yer değiştirmesi, yere göre hızın kıyıya paralel bileşeni ile geçiş süresinin çarpımıdır.
En kısa sürede geçiş
Nehrin genişliği d, kayığın suya göre hızı vk, akıntı hızı va olsun. Kayığın suya göre hızının tamamı kıyıya dik olursa dik bileşen en büyük değerini alır ve geçiş süresi en kısa olur: t = d/vk. Bunun için kayığın burnu sürekli karşı kıyıya dik tutulur. Bu durumda kayık akıntı yönünde x = va·t kadar sürüklenir ve tam karşıdaki noktanın ilerisine çıkar. Akıntı hızlanırsa geçiş süresi değişmez, yalnızca sürüklenme artar. Kayığın yere göre hızının büyüklüğü √(vk² + va²) olur.
En kısa yoldan geçiş
En kısa yol, kıyıya dik olan ve tam karşıdaki noktaya giden yoldur. Bu yolda kalabilmek için kayığın yere göre hızının kıyıya paralel bileşeni sıfır olmalıdır; yani suya göre hızın akıntıya karşı bileşeni akıntı hızına eşit seçilir. Geriye kalan kıyıya dik bileşen √(vk² − va²) olduğundan geçiş süresi t = d/√(vk² − va²) olur ve en kısa süreden uzundur. Kayığın suya göre hızı akıntı hızından büyük değilse kayık tam karşıya çıkamaz.
Eğik yönelen kayık
Kayığın burnu kıyıyla bir açı yapacak biçimde tutuluyorsa önce suya göre hız bileşenlerine ayrılır. Kıyıya dik bileşen geçiş süresini verir. Kıyıya paralel bileşen akıntıyla aynı yöndeyse akıntı hızına eklenir, zıt yöndeyse akıntı hızından çıkarılır; sonuç pozitifse kayık akıntı yönünde, negatifse akıntıya karşı yönde kayarak karşıya ulaşır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Genişliği 160 m olan bir nehirde akıntı hızı 3 m/s'dir. Suya göre hızı 4 m/s olan bir motor, burnu sürekli kıyıya dik tutularak karşıya geçiyor. Geçiş süresi, sürüklenme miktarı ve motorun yere göre yer değiştirmesi nedir?
Çözüm. Kıyıya dik hız bileşeni 4 m/s olduğundan geçiş süresi 160/4 = 40 s'dir. Bu sürede akıntı motoru kıyı boyunca 3·40 = 120 m sürükler. Motorun yere göre hızı √(4² + 3²) = 5 m/s'dir; 40 s'deki yer değiştirmesi 5·40 = 200 m olur. Aynı sonuç geometriden de bulunur: √(160² + 120²) = 200 m. Motor karşı kıyıya, başladığı noktanın tam karşısındaki noktanın 120 m akıntı yönündeki tarafında ulaşır.
Örnek 2. Genişliği 30 m olan bir derede akıntı hızı 0,8 m/s'dir. Suya göre 1 m/s hızla yüzebilen bir yüzücü karşıya en kısa sürede geçmek isterse kaç saniyede geçer ve ne kadar sürüklenir? Tam karşıdaki noktaya çıkmak isterse geçiş kaç saniye sürer?
Çözüm. En kısa süre için yüzücü kıyıya dik yüzer: süre 30/1 = 30 s olur ve akıntı onu 0,8·30 = 24 m sürükler. Tam karşıya çıkmak için suya göre hızının akıntıya karşı bileşeni 0,8 m/s olmalıdır. Kıyıya dik bileşen √(1² − 0,8²) = √0,36 = 0,6 m/s kalır ve geçiş 30/0,6 = 50 s sürer. Yüzücü tam karşıya çıkarken daha kısa yol alır ama daha uzun süre yüzer.
Örnek 3. Genişliği 60 m olan bir nehirde akıntı hızı 0,5 m/s'dir. Suya göre hızı 2,5 m/s olan bir tekne, burnu kıyıyla 53° açı yapacak ve akıntı yönüne doğru eğik olacak biçimde tutularak karşıya geçiyor. Tekne karşı kıyıya nerede ulaşır? (sin 53° = 0,8; cos 53° = 0,6)
Çözüm. Suya göre hızın kıyıya dik bileşeni 2,5·0,8 = 2 m/s, kıyıya paralel bileşeni 2,5·0,6 = 1,5 m/s'dir. Geçiş süresi 60/2 = 30 s olur. Paralel bileşen akıntıyla aynı yönde olduğundan teknenin yere göre kıyı boyunca hızı 1,5 + 0,5 = 2 m/s'dir. Tekne kıyı boyunca 2·30 = 60 m ilerler; karşı kıyıya, tam karşıdaki noktanın 60 m akıntı yönündeki tarafında ulaşır.
Sık yapılan hatalar
- Geçiş süresini kayığın yere göre toplam hızıyla ya da akıntı hızıyla hesaplamak.
- Akıntı hızı artınca burnu kıyıya dik tutulan kayığın daha geç karşıya geçeceğini sanmak; süre değişmez, sürüklenme artar.
- En kısa yol ile en kısa süreyi aynı durum sanmak.
- Tam karşıya geçişte dik bileşeni vk − va farkı olarak almak; doğrusu √(vk² − va²) ifadesidir.
- Geçiş süresi = nehir genişliği / kıyıya dik hız bileşeni.
- En kısa süre: burun kıyıya dik, t = d/vk, sürüklenme va·t.
- En kısa yol: tam karşıya, t = d/√(vk² − va²); bunun için vk > va olmalıdır.