Konu anlatımı
Çizim bileşkenin yönünü gösterir, ama büyüklüğünü sayı olarak bulmak için hesap gerekir. Bu alt başlıkta kosinüs teoremini, bileşkenin alabileceği en büyük ve en küçük değerleri ve eşit büyüklükteki vektörler için akılda tutmaya değer özel açıları göreceksin.
Kosinüs teoremi
A ve B vektörleri aynı noktadan başlatıldığında aralarındaki açı θ ise bileşkenin büyüklüğü R² = A² + B² + 2·A·B·cos θ bağıntısıyla bulunur. Bağıntıdaki artı işareti, açının vektörler aynı noktadan çıkarken ölçülmesinden gelir. Açı 90° ise cos 90° = 0 olur ve bağıntı Pisagor bağıntısına döner. Açı 90°'den büyükse kosinüs negatiftir ve son terim çıkarılır. Sık kullanılan değerler: cos 0° = 1, cos 60° = 0,5, cos 90° = 0, cos 120° = −0,5 ve cos 180° = −1.
En büyük ve en küçük bileşke
Açı 0° iken vektörler aynı yönlüdür ve bileşke en büyük değerini alır: R = A + B. Açı 180° iken vektörler zıt yönlüdür ve bileşke en küçük değerini alır: R = |A − B|. Açı 0°'den 180°'ye doğru büyüdükçe bileşke sürekli küçülür. Bu yüzden iki vektörün bileşkesi her zaman |A − B| ≤ R ≤ A + B aralığındadır. Bir soruda iki kuvvetin bileşkesinin hangi değeri alamayacağı soruluyorsa bu aralığın dışında kalan değeri ararsın.
Eşit büyüklükteki vektörlerde özel açılar
Büyüklükleri eşit ve F olan iki vektörün bileşkesi açıortay doğrultusundadır ve büyüklüğü açıya göre şöyledir: 0°'de 2F, 60°'de F√3, 90°'de F√2, 120°'de F ve 180°'de sıfır. 120° durumu özellikle önemlidir: bileşke, vektörlerden birinin büyüklüğüne eşittir. Bunun sonucu olarak aynı düzlemde birbirleriyle 120° açı yapan eşit büyüklükteki üç vektörün bileşkesi sıfırdır; çünkü herhangi ikisinin bileşkesi üçüncüye eşit büyüklükte ve zıt yönlüdür.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir cisme 3 N ve 5 N büyüklüğünde iki kuvvet etki ediyor. Kuvvetler arasındaki açı 60° ve 120° iken bileşke kuvvetin büyüklüğünü bulunuz. (cos 60° = 0,5; cos 120° = −0,5)
Çözüm. 60° için R² = 3² + 5² + 2·3·5·0,5 = 9 + 25 + 15 = 49 ve R = 7 N olur. 120° için kosinüs negatiftir: R² = 9 + 25 + 2·3·5·(−0,5) = 9 + 25 − 15 = 19 ve R = √19 N, yani yaklaşık 4,4 N bulunur. Açı büyüyünce bileşke küçülmüştür. İki sonuç da bu kuvvetler için olası en küçük değer olan 2 N ile en büyük değer olan 8 N arasındadır.
Örnek 2. Bir halkaya 10 N büyüklüğünde iki ip kuvveti uygulanıyor. İpler arasındaki açı 60°, 90° ve 120° olduğunda halkaya etkiyen bileşke kuvvet kaç N olur? (√2 = 1,41; √3 = 1,73)
Çözüm. Eşit büyüklükteki iki vektör için özel değerler kullanılır. 60°'de bileşke F√3 = 10√3 N, yani yaklaşık 17,3 N'dur. 90°'de F√2 = 10√2 N, yani yaklaşık 14,1 N'dur. 120°'de bileşke F'ye eşittir: 10 N. Üç durumda da bileşke iki ipin açıortayı doğrultusundadır. İpler birbirinden uzaklaştıkça, kuvvetlerin büyüklüğü değişmediği hâlde bileşke küçülmektedir.
Örnek 3. Büyüklükleri 4 N ve 7 N olan iki kuvvetin bileşkesi 2 N, 3 N, 7 N, 11 N ve 12 N değerlerinden hangilerini alabilir?
Çözüm. Bileşkenin en küçük değeri kuvvetler zıt yönlüyken 7 − 4 = 3 N, en büyük değeri aynı yönlüyken 7 + 4 = 11 N'dur. Bileşke yalnızca bu iki değer arasında olabilir. Buna göre 3 N (açı 180°), 7 N (ara bir açıda) ve 11 N (açı 0°) olabilir; 2 N ve 12 N olamaz.
Sık yapılan hatalar
- Kosinüs teoremini üçgenlerdeki eksi işaretli biçimiyle karıştırmak; vektörler aynı noktadan başlatıldığında bağıntıda +2·A·B·cos θ vardır.
- Açı büyüdükçe bileşkenin de büyüdüğünü sanmak; açı büyüdükçe bileşke küçülür.
- 120° açılı eşit iki vektörün bileşkesini sıfır sanmak; bileşke F'dir, sıfır olan durum 180°'dir.
- R² = A² + B² + 2·A·B·cos θ.
- |A − B| ≤ R ≤ A + B.
- Eşit iki vektör (F): 60°'de F√3, 90°'de F√2, 120°'de F.