Konu anlatımı
Eğik bir iple çekilen sandıkta kuvvetin bir kısmı sandığı ileri götürür, bir kısmı yukarı kaldırmaya çalışır. Bu alt başlıkta bir vektörü birbirine dik iki bileşene ayırmayı, bileşenlerden yararlanarak birçok vektörü toplamayı ve kareli düzlemdeki vektörleri okumayı göreceksin.
Bileşen nedir?
Bir vektörün, seçilen dik eksenler üzerindeki izdüşümlerine o vektörün bileşenleri denir. Vektörün ucundan eksenlere dikmeler indirildiğinde x ekseni üzerinde kalan parça x bileşeni, y ekseni üzerinde kalan parça y bileşenidir. İki bileşenin vektörel toplamı vektörün kendisini verir; yani bir vektör yerine bileşenlerini kullanabilirsin. Bileşenler işaretlidir: −x yönüne bakan bileşen negatif yazılır. Eksenleri sen seçersin; eğik düzlem sorularında eksenleri düzleme paralel ve dik seçmek işlemleri kısaltır.
Bileşenlerin hesaplanması
Büyüklüğü A olan vektör x ekseniyle θ açısı yapıyorsa Ax = A·cos θ ve Ay = A·sin θ olur. Açı y ekseniyle verilmişse roller değişir; bu yüzden ezber yerine şu kuralı kullan: açıya komşu bileşen kosinüslü, açının karşısındaki bileşen sinüslüdür. Sık kullanılan değerler: sin 37° = cos 53° = 0,6; cos 37° = sin 53° = 0,8; sin 30° = cos 60° = 0,5; sin 45° = cos 45° = √2/2. Bileşenlerden vektöre dönmek için A² = Ax² + Ay² ve tan θ = Ay/Ax kullanılır.
Bileşenlerle toplama
İkiden çok vektörü ya da aralarındaki açı özel olmayan vektörleri toplarken şu sırayı izle: her vektörü x ve y bileşenlerine ayır, x bileşenlerini işaretleriyle topla, y bileşenlerini işaretleriyle topla, sonra R² = Rx² + Ry² ile bileşkenin büyüklüğünü bul. Yön için tan θ = Ry/Rx oranına ve bileşenlerin işaretlerine bak. Bir eksendeki toplam sıfır çıkarsa bileşke öbür eksen üzerindedir.
Kareli düzlemde vektörler
Birim kareli düzlemde verilen bir vektörün bileşenleri sayılarak okunur: vektör başlangıcından ucuna giderken yatayda kaç kare, düşeyde kaç kare ilerliyorsa bileşenleri odur; sola ve aşağı gidişler negatif alınır. Birkaç vektörün bileşkesi için yatay bileşenler kendi arasında, düşey bileşenler kendi arasında toplanır. Bu yöntemde açı bilmen gerekmez.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Yatay zemindeki bir bavul, yatayla 37° açı yapan sapından 50 N'luk kuvvetle çekiliyor. Kuvvetin yatay ve düşey bileşenleri kaç N'dur? Açı 53° olsaydı bileşenler ne olurdu? (sin 37° = 0,6; cos 37° = 0,8)
Çözüm. Açı yatayla verildiği için yatay bileşen kosinüsle, düşey bileşen sinüsle bulunur: Fx = 50·0,8 = 40 N, Fy = 50·0,6 = 30 N. Bavulu ileri çeken 40 N'luk bileşendir; 30 N'luk bileşen bavulu yukarı doğru çekerek zemine yaptığı baskıyı azaltır. Açı 53° olsaydı sin 53° = 0,8 ve cos 53° = 0,6 olduğundan Fx = 30 N, Fy = 40 N olurdu. İki durumda da 30² + 40² = 50² eşitliği sağlanır.
Örnek 2. Bir cisme aynı düzlemde üç kuvvet etki ediyor: +x yönüyle 53° açı yapan 20 N, −x yönünde 4 N ve −y yönünde 10 N. Bileşke kuvvetin büyüklüğü ve yönü nedir? (sin 53° = 0,8; cos 53° = 0,6)
Çözüm. 20 N'luk kuvvetin bileşenleri 20·0,6 = 12 N (+x) ve 20·0,8 = 16 N (+y) olur. x bileşenleri toplanır: 12 − 4 = 8 N. y bileşenleri toplanır: 16 − 10 = 6 N. Bileşkenin büyüklüğü √(8² + 6²) = 10 N'dur. Yönü için tan θ = 6/8 = 3/4 olduğundan bileşke +x ekseniyle 37° açı yapar ve birinci bölgededir.
Örnek 3. Birim kareli düzlemde K vektörü 4 birim sağa ve 1 birim yukarı, L vektörü 2 birim sola ve 3 birim yukarı, M vektörü 1 birim sağa ve 1 birim aşağı ilerlemektedir. K + L + M bileşkesinin büyüklüğü kaç birimdir?
Çözüm. Sağ ve yukarı pozitif seçilirse K = (4, 1), L = (−2, 3) ve M = (1, −1) olur. Yatay bileşenlerin toplamı 4 − 2 + 1 = 3, düşey bileşenlerin toplamı 1 + 3 − 1 = 3 birimdir. Bileşke (3, 3) vektörüdür; büyüklüğü √(3² + 3²) = 3√2 birim olup yatayla 45° açı yapar.
Sık yapılan hatalar
- Açı düşeyle verildiğinde de yatay bileşeni kosinüsle hesaplamak; açıya komşu olan bileşen kosinüslüdür.
- Bileşenleri toplarken sola ya da aşağı bakan bileşenlerin eksi işaretini unutmak.
- Bileşkenin büyüklüğünü Rx + Ry toplamı sanmak; büyüklük √(Rx² + Ry²) ile bulunur.
- Açıya komşu bileşen A·cos θ, açının karşısındaki bileşen A·sin θ'dır.
- sin 37° = cos 53° = 0,6 ve cos 37° = sin 53° = 0,8.
- Bileşke için Rx ve Ry ayrı ayrı toplanır, sonra R² = Rx² + Ry² kullanılır.