Konu anlatımı
Bir arkadaşına 300 m yürümesini söylersen nereye varacağını bilemez; hangi yöne yürüyeceğini de söylemen gerekir. Bu alt başlıkta vektörel büyüklüklerin skalerlerden farkını, bir vektörün nasıl gösterildiğini, hangi vektörlerin eşit sayıldığını ve vektörlerin koordinat sisteminde nasıl çizildiğini göreceksin.
Vektörel büyüklükler
Kütle, zaman ve enerji gibi skalerler bir sayı ve bir birimle belirtilir; yer değiştirme, hız, ivme, kuvvet ve momentum gibi vektörel büyüklüklerde ise doğrultu ve yön de gerekir. Bu fark toplamada ortaya çıkar: 2 kg ile 3 kg her zaman 5 kg eder, ama 3 N ve 4 N'luk iki kuvvetin bileşkesi aralarındaki açıya göre 1 N ile 7 N arasında herhangi bir değer olabilir. AYT'de vektörleri iki boyutta çizer, taşır, toplar ve bileşenlerine ayırırsın.
Vektörün gösterimi
Bir vektör yönlü bir doğru parçasıyla, yani bir okla gösterilir. Okun başladığı nokta vektörün başlangıç (uygulama) noktası, okun üzerinde bulunduğu doğru doğrultusu, ok ucunun gösterdiği taraf yönü, okun uzunluğu ise seçilen ölçeğe göre büyüklüğüdür. Bir doğrultuda iki zıt yön vardır: doğu-batı tek bir doğrultudur, doğu ve batı ise bu doğrultudaki iki yöndür. Vektörün büyüklüğü hiçbir zaman negatif olmaz; tek boyutlu sorulardaki eksi işareti büyüklüğü değil, seçilen pozitif yöne zıt olan yönü anlatır.
Eşit ve zıt vektörler, sayıyla çarpma
Büyüklükleri ve yönleri aynı olan iki vektör eşittir; başlangıç noktalarının farklı olması eşitliği bozmaz. Bu sayede bir vektörü kendine paralel kaydırarak başka bir noktaya taşıyabilirsin; toplama işlemleri bu taşımaya dayanır. Büyüklüğü aynı, yönü zıt olan vektöre o vektörün zıttı ya da negatifi denir ve −A ile gösterilir. Bir A vektörü bir sayıyla çarpıldığında büyüklüğü o sayının mutlak değeri katına çıkar; sayı pozitifse yön aynı kalır, negatifse ters döner. Örneğin 2A, A ile aynı yönlü ve iki kat uzun; −A/2 ise A'ya zıt yönlü ve yarı uzunluktadır.
Koordinat sisteminde vektörler
İki boyutlu kartezyen koordinat sisteminde bir vektör, x ve y eksenleri boyunca ne kadar ilerlediğini gösteren iki sayıyla yazılır; başlangıcı (1, 1), ucu (4, 3) noktasında olan vektör x yönünde 3, y yönünde 2 birim ilerler ve (3, 2) vektörüdür. Büyüklüğü Pisagor bağıntısıyla √(3² + 2²) = √13 birim bulunur. Üç boyutlu koordinat sisteminde üçüncü bir eksen, z ekseni eklenir; vektör (x, y, z) biçiminde üç sayıyla yazılır ve büyüklüğü √(x² + y² + z²) olur. AYT'de birim vektörlerle işlem yapılmaz; vektörler çizilerek ya da bileşenleri sayılarak çözülür.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Birim kareli bir düzlemde K vektörü (1, 1) noktasından (4, 3) noktasına, L vektörü (2, 4) noktasından (5, 6) noktasına, M vektörü (6, 5) noktasından (3, 3) noktasına, N vektörü (0, 0) noktasından (6, 4) noktasına çizilmiştir. L, M ve N vektörlerini K ile karşılaştırınız.
Çözüm. Her vektörün x ve y yönünde kaç birim ilerlediğini bulmak için uç noktasının koordinatlarından başlangıç noktasınınkiler çıkarılır. K = (4 − 1, 3 − 1) = (3, 2), L = (5 − 2, 6 − 4) = (3, 2), M = (3 − 6, 3 − 5) = (−3, −2) ve N = (6, 4) olur. L, farklı bir noktadan başlasa da K'ye eşittir. M, K ile aynı büyüklükte ve zıt yönlüdür: M = −K. N, K ile aynı yönlü ve iki kat uzundur: N = 2K. Büyüklükler K, L ve M için √13 birim, N için 2√13 birimdir.
Örnek 2. Bir spor salonunun zemin köşesi başlangıç noktası seçiliyor. Tavandaki bir projektöre ulaşmak için bu köşeden doğuya doğru 2 m, kuzeye doğru 3 m ve yukarı doğru 6 m gitmek gerekiyor. Projektörün konum vektörü nedir ve projektör köşeden kaç metre uzaktadır?
Çözüm. Doğu x, kuzey y, yukarı z ekseni seçilirse projektörün konum vektörü (2, 3, 6) olur. Büyüklüğü √(2² + 3² + 6²) = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7 m'dir. Projektör köşeden 7 m uzaktadır. Bu hesap, iki boyuttaki Pisagor bağıntısının üçüncü boyuta genişletilmiş hâlidir: önce zemindeki uzaklık bulunur, sonra bu uzaklık yükseklikle birleştirilir.
Sık yapılan hatalar
- Başlangıç noktaları farklı olan vektörlerin eşit olamayacağını sanmak; eşitlik için büyüklük ve yönün aynı olması yeter.
- Doğrultu ile yönü aynı şey sanmak; bir doğrultuda iki zıt yön vardır.
- Sürat ile hızı, alınan yol ile yer değiştirmeyi aynı türden saymak; ilki skaler, ikincisi vektöreldir.
- Vektörün dört elemanı: başlangıç noktası, doğrultu, yön ve büyüklük.
- Büyüklüğü ve yönü aynı olan vektörler eşittir; vektör kendine paralel taşınabilir.
- (x, y) vektörünün büyüklüğü √(x² + y²), (x, y, z) vektörününki √(x² + y² + z²) olur.