Konu anlatımı
Gerçek cisimler noktasal değildir; kütleleri bir çubuğa ya da levhaya yayılmıştır. Bu alt başlıkta türdeş çubuk ve levhaların kütle merkezini, bileşik biçimleri parçalara ayırarak ve çıkarılan ya da eklenen parçaları hesaba katarak bulmayı göreceksin.
Türdeş ve simetrik cisimler
Kütlesi her yerine eşit dağılmış cisimlere türdeş cisim denir. Türdeş ve simetrik cisimlerin kütle merkezi simetri merkezleridir: ince çubukta orta nokta; kare, dikdörtgen ve paralelkenar levhada köşegenlerin kesim noktası; daire levha ve çemberde merkez; üçgen levhada kenarortayların kesim noktası. Simetri ekseni olan her türdeş cismin kütle merkezi bu eksen üzerindedir. Kütle merkezi cismin maddesinin bulunmadığı bir noktada da olabilir: halkanın kütle merkezi ortasındaki boşluktadır.
Parçalara ayırma
Bileşik bir levhanın kütle merkezini bulmak için levha, merkezi bilinen basit parçalara ayrılır. Her parça, kütlesi kendi merkezinde toplanmış bir nokta gibi düşünülür ve noktasal kütle bağıntısı uygulanır. Türdeş ve kalınlığı her yerde aynı olan levhada kütle alanla orantılıdır; bu yüzden bağıntıda kütle yerine alan yazılır: x = (A₁·x₁ + A₂·x₂)/(A₁ + A₂). Aynı telden bükülmüş cisimlerde kütle yerine uzunluk kullanılır. Parçalar farklı maddelerden yapılmışsa ya da üst üste konmuşsa alan yerine gerçek kütleler alınır.
Parça çıkarma ve ekleme
Levhadan bir parça kesilip atılmışsa levha, bütün hâli ile eksi kütleli çıkarılan parçanın toplamı gibi düşünülür: x = (A₁·x₁ − A₂·x₂)/(A₁ − A₂); burada A₁ bütün levhanın alanı ve x₁ onun merkezi, A₂ çıkarılan parçanın alanı ve x₂ onun merkezidir. Kütle merkezi, çıkarılan parçanın bulunduğu taraftan uzaklaşır. Levhanın bir bölümüne ek parça yapıştırılırsa ya da bir bölümü katlanıp üstüne getirilirse o bölgenin kütlesi artar ve kütle merkezi o tarafa kayar.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Kenar uzunluğu 6 birim olan türdeş kare levhanın sol alt köşesi orijindedir. Levhanın sağ üst köşesinden kenar uzunluğu 2 birim olan kare bir parça kesilip atılıyor. Kalan levhanın kütle merkezinin koordinatları nedir?
Çözüm. Bütün levhanın alanı 36 birim kare, merkezi (3, 3) noktasıdır. Çıkarılan parçanın alanı 4 birim kare, merkezi (5, 5) noktasıdır. Çıkarılan parça eksi alanla yazılır: x = (36·3 − 4·5)/(36 − 4) = (108 − 20)/32 = 88/32 = 2,75. Biçim köşegene göre simetrik olduğundan y koordinatı da 2,75 olur. Kütle merkezi (3, 3) noktasından, parçanın çıkarıldığı köşenin ters yönüne doğru kaymıştır.
Örnek 2. Türdeş bir telden kesilen 4 birim uzunluğundaki iki özdeş parça uçlarından dik olarak birleştirilip L biçimi veriliyor: parçalardan biri orijinden (4, 0) noktasına, öbürü orijinden (0, 4) noktasına uzanıyor. Telin kütle merkezi nerededir?
Çözüm. Her parçanın kütle merkezi kendi orta noktasıdır: (2, 0) ve (0, 2). Parçalar özdeş olduğundan kütleleri eşittir ve ortak kütle merkezi bu iki noktanın tam ortasıdır: (1, 1). Bu nokta telin üzerinde değildir; iki kolun arasındaki boşluktadır. Örnek, kütle merkezinin cismin dışında da olabileceğini gösterir.
Örnek 3. Kenar uzunluğu 4 birim olan türdeş kare levhanın sol alt köşesi orijindedir. Levhanın sağ üst çeyreğinin üstüne, aynı levhadan kesilmiş kenar uzunluğu 2 birim olan kare bir parça yapıştırılıyor. Yeni cismin kütle merkezinin koordinatları nedir?
Çözüm. Büyük levhanın alanı 16 birim kare, merkezi (2, 2) noktasıdır. Yapıştırılan parçanın alanı 4 birim kare, merkezi sağ üst çeyreğin ortası olan (3, 3) noktasıdır. Parçalar aynı levhadan olduğu için kütleler alanlarla orantılıdır: x = (16·2 + 4·3)/(16 + 4) = 44/20 = 2,2 ve simetriden y = 2,2. Kütle merkezi, kütlenin arttığı sağ üst köşeye doğru kaymıştır.
Sık yapılan hatalar
- Çıkarılan parçanın alanını toplamda artı işaretle kullanmak.
- Parçaların merkezlerinin koordinatlarını alanlarla çarpmadan ortalamak.
- Kütle merkezinin mutlaka cismin üzerinde bir noktada olması gerektiğini sanmak.
- Türdeş simetrik cisimde kütle merkezi simetri merkezidir.
- Türdeş levhada x = (A₁·x₁ + A₂·x₂)/(A₁ + A₂); çıkarılan parça eksi alınır.
- Kütle merkezi eklenen kütleye yaklaşır, çıkarılan kütleden uzaklaşır.