Konu anlatımı
Parmağının ucunda bir cetveli dengede tutabilmen için parmağını tek bir noktanın altına koyman gerekir. O nokta, cetvelin bütün kütlesi orada toplanmış gibi davrandığı noktadır. Bu alt başlıkta kütle merkezini, ağırlık merkezini ve noktasal kütlelerde kütle merkezi hesabını göreceksin.
Kütle merkezi
Bir cismin ya da cisimler sisteminin kütlesinin toplandığı kabul edilen noktaya kütle merkezi denir. x ekseni üzerindeki üç noktasal kütle için kütle merkezinin konumu x = (m₁·x₁ + m₂·x₂ + m₃·x₃)/(m₁ + m₂ + m₃) bağıntısıyla bulunur; düzlemdeki kütleler için aynı işlem y koordinatlarıyla tekrarlanır. Bu, konumların kütlelerle ağırlıklandırılmış ortalamasıdır. Kütle merkezi her zaman büyük kütleye daha yakındır; iki kütleli sistemde kütle merkezinin kütlelere uzaklıkları, kütlelerle ters orantılıdır.
Ağırlık merkezi
Cismin her parçasına ayrı ayrı etkiyen yer çekimi kuvvetlerinin bileşkesi, cismin ağırlığıdır; bu bileşkenin uygulama noktasına ağırlık merkezi denir. Cisim ağırlık merkezinden asılırsa ya da tam altından desteklenirse dengede kalır. Düzensiz bir levhanın ağırlık merkezi, levha iki farklı noktasından asılıp her seferinde asma noktasından inen düşey doğrultu çizilerek bulunur; doğruların kesim noktası ağırlık merkezidir.
İki merkez ne zaman ayrılır?
Yer çekimi ivmesi cismin her noktasında aynıysa ağırlık merkezi ile kütle merkezi aynı noktadır; günlük boyutlardaki bütün cisimlerde durum budur. Çekim ivmesi yeryüzünden uzaklaştıkça azalır; çok yüksek bir kule ya da dağ gibi çok büyük cisimlerde alt kısımlar üst kısımlara göre biraz daha büyük çekim ivmesinin etkisindedir ve ağırlık merkezi, kütle merkezinin biraz altında kalır. Kütle merkezi yalnızca kütlenin dağılımına bağlıdır ve çekim alanı olmasa da vardır; ağırlık merkezi ise ancak çekim alanı içinde tanımlıdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir x ekseni üzerinde 1 kg kütleli cisim x = 0 noktasında, 2 kg kütleli cisim x = 3 m noktasında, 3 kg kütleli cisim x = 6 m noktasında bulunuyor. Sistemin kütle merkezi nerededir?
Çözüm. x = (1·0 + 2·3 + 3·6)/(1 + 2 + 3) = (0 + 6 + 18)/6 = 24/6 = 4 m. Kütle merkezi x = 4 m noktasındadır. Cisimlerin tam ortası x = 3 m olduğu hâlde kütle merkezi, büyük kütlelerin bulunduğu tarafa doğru kaymıştır.
Örnek 2. Bir düzlemde 2 kg kütleli cisim (0, 0) noktasında, 2 kg kütleli ikinci cisim (6, 0) noktasında, 4 kg kütleli üçüncü cisim (3, 4) noktasında bulunuyor; koordinatlar metre cinsindendir. Sistemin kütle merkezinin koordinatları nedir?
Çözüm. x koordinatı: (2·0 + 2·6 + 4·3)/(2 + 2 + 4) = 24/8 = 3 m. y koordinatı: (2·0 + 2·0 + 4·4)/8 = 16/8 = 2 m. Kütle merkezi (3, 2) noktasındadır. Alttaki iki cismin ortak kütle merkezi (3, 0) noktasındadır ve toplam kütleleri 4 kg'dır; üstteki cisim de 4 kg olduğundan sistemin kütle merkezi bu iki noktanın tam ortasına düşmüştür.
Örnek 3. Ağırlığı önemsiz 2 m uzunluğundaki bir çubuğun bir ucuna 6 kg, öbür ucuna 2 kg kütleli cisimler bağlanmıştır. Çubuk hangi noktasından asılırsa yatay dengede kalır? (g = 10 m/s²)
Çözüm. Çubuk, sistemin kütle merkezinden asılmalıdır. 6 kg'lık cisim başlangıç alınırsa x = (6·0 + 2·2)/(6 + 2) = 4/8 = 0,5 m. Askı noktası 6 kg'lık cisimden 0,5 m, 2 kg'lık cisimden 1,5 m uzaktadır. Uzaklıkların oranı 1'e 3, kütlelerin oranı 3'e 1'dir; uzaklıklar kütlelerle ters orantılıdır. Aynı sonuç tork dengesinden de çıkar: 60·0,5 = 20·1,5.
Sık yapılan hatalar
- Kütle merkezini cisimlerin tam ortası sanmak; kütleler farklıysa merkez büyük kütleye kayar.
- Bağıntıda paydaya cisim sayısını yazmak; paydada toplam kütle bulunur.
- Ağırlık merkezi ile kütle merkezini her durumda aynı saymak; çekim ivmesi düzgün değilse ayrılırlar.
- x = (m₁·x₁ + m₂·x₂)/(m₁ + m₂); her yeni kütle için bir terim eklenir.
- Kütle merkezi büyük kütleye daha yakındır.
- Çekim ivmesi her yerde aynıysa ağırlık merkezi ile kütle merkezi çakışır.