Konu anlatımı
Bir valizi sapından eğik çekmek ile bir sandığı üstten bastırarak itmek aynı şey değildir; kuvvetin düşey bileşeni sürtünmeyi değiştirir. Bu alt başlıkta yatayla açı yapan kuvvetlerde tepki kuvvetini, sürtünmeyi ve ivmeyi hesaplamayı göreceksin.
Kuvveti bileşenlerine ayırma
Yatayla θ açısı yapan F kuvvetinin yatay bileşeni F·cos θ, düşey bileşeni F·sin θ olur. Cismi yatay zeminde hızlandıran yalnızca yatay bileşendir. Düşey bileşen cismi hızlandırmaz, ama zeminin tepki kuvvetini ve dolayısıyla sürtünmeyi değiştirir. Sorularda çoğunlukla sin 37° = 0,6 ve cos 37° = 0,8 ya da sin 53° = 0,8 ve cos 53° = 0,6 değerleri verilir.
Eğik çekme ve eğik itme
Kuvvet yukarı doğru eğikse düşey bileşen ağırlığın bir kısmını karşılar: düşey dengeden N + F·sin θ = m·g, yani N = m·g − F·sin θ bulunur. Kuvvet aşağı doğru eğikse düşey bileşen cismi zemine bastırır: N = m·g + F·sin θ. Sürtünme kuvveti k·N olduğundan eğik çekmede sürtünme azalır, eğik itmede artar. Aynı büyüklükte ve aynı açıdaki kuvvetle çekilen cisim, itilen cisimden daha büyük ivme kazanır. F·sin θ ağırlığa eşit olursa tepki kuvveti sıfırlanır ve cisim zeminden kalkmak üzeredir.
İvme ve sabit hız
Kayan cisim için yatay doğrultuda F·cos θ − k·N = m·a yazılır. Cisim sabit hızla kayıyorsa ivme sıfırdır ve F·cos θ = k·N olur; bu eşitlikten sürtünme katsayısı ya da gerekli kuvvet bulunur. Bilinmeyen kuvvetin kendisiyse N de F'ye bağlı olduğundan F hem yatay hem düşey denklemde yer alır; önce N'yi F cinsinden yaz, sonra yatay denklemde yerine koy.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Yatay zeminde kayan 12 kg kütleli bir sandık, yatayla 53° açı yapan ve yukarı doğru eğik olan 60 N'luk kuvvetle çekiliyor. Kinetik sürtünme katsayısı 0,25 olduğuna göre sandığın ivmesi kaç m/s²'dir? (g = 10 m/s²; sin 53° = 0,8; cos 53° = 0,6)
Çözüm. Yatay bileşen 60·0,6 = 36 N, düşey bileşen 60·0,8 = 48 N'dur. Tepki kuvveti N = 120 − 48 = 72 N, sürtünme kuvveti 0,25·72 = 18 N olur. İvme a = (36 − 18)/12 = 1,5 m/s² bulunur. Düşey bileşen ağırlıktan küçük olduğu için sandık zeminden ayrılmaz.
Örnek 2. Yatay zemindeki 5 kg kütleli bir kutuya yatayla 37° açı yapan 25 N'luk kuvvet uygulanıyor. Kinetik sürtünme katsayısı 0,2'dir. Kutu kayarken, kuvvet aşağı doğru eğik (itme) ve yukarı doğru eğik (çekme) olduğunda ivmeler ne olur? (g = 10 m/s²; sin 37° = 0,6; cos 37° = 0,8)
Çözüm. İki durumda da yatay bileşen 25·0,8 = 20 N, düşey bileşen 25·0,6 = 15 N'dur. İtmede düşey bileşen kutuyu zemine bastırır: N = 50 + 15 = 65 N, sürtünme 0,2·65 = 13 N, ivme (20 − 13)/5 = 1,4 m/s². Çekmede düşey bileşen yükü hafifletir: N = 50 − 15 = 35 N, sürtünme 0,2·35 = 7 N, ivme (20 − 7)/5 = 2,6 m/s². Aynı kuvvet çekerken neredeyse iki kat ivme vermiştir.
Örnek 3. Kütlesi 16 kg olan bir sandık, yatayla 53° açı yapan ve yukarı doğru eğik olan 50 N'luk kuvvetle çekildiğinde yatay zeminde sabit hızla kayıyor. Sandık ile zemin arasındaki kinetik sürtünme katsayısı kaçtır? (g = 10 m/s²; sin 53° = 0,8; cos 53° = 0,6)
Çözüm. Yatay bileşen 50·0,6 = 30 N, düşey bileşen 50·0,8 = 40 N'dur. Tepki kuvveti N = 160 − 40 = 120 N olur. Hız sabit olduğu için yatay doğrultuda net kuvvet sıfırdır; sürtünme kuvveti yatay bileşene eşittir: k·120 = 30. Buradan k = 30/120 = 0,25 bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Tepki kuvvetini ağırlığa eşit almak; eğik kuvvetin düşey bileşeni N'yi değiştirir.
- Sürtünmeyi kuvvetin tamamıyla ya da yatay bileşeniyle orantılı sanmak; sürtünme N ile orantılıdır.
- Sinüs ve kosinüsü ters kullanmak; açı yatayla verilmişse yatay bileşen kosinüslüdür.
- Çekmede N = m·g − F·sin θ, itmede N = m·g + F·sin θ.
- Kayarken F·cos θ − k·N = m·a; sabit hızda F·cos θ = k·N.
- Sürtünmeli zeminde aynı kuvvetle eğik çekmek, eğik itmekten daha büyük ivme verir.