Konu anlatımı
Bir cismin hız-zaman grafiği, üzerine etkiyen kuvvetlerin izini taşır. Bu alt başlıkta grafiğin eğiminden ivmeyi, ivmeden net kuvveti ve hareketin farklı evrelerini birleştirerek sürtünme katsayısını bulmayı göreceksin.
Eğimden net kuvvete
Hız-zaman grafiğinde bir doğru parçasının eğimi, o aralıktaki ivmedir: a = Δv/Δt. Newton'ın ikinci yasasına göre aynı aralıktaki net kuvvet Fnet = m·a olur. Eğim pozitifse net kuvvet pozitif yönde, negatifse negatif yöndedir; grafik yataysa net kuvvet sıfırdır. Eğimi dik olan bölümde net kuvvet büyüktür. Net kuvvetin yönünü hızın işaretiyle değil, eğimin işaretiyle belirlersin. Grafiğin altında kalan alan ise yer değiştirmeyi verir.
Kuvvet kaldırıldıktan sonra
Yatay zeminde bir kuvvetle çekilen cisim, kuvvet kaldırılınca yalnızca sürtünmenin etkisinde kalır ve düzgün yavaşlar. Bu evrede k·m·g = m·a olduğundan grafiğin eğiminin büyüklüğü k·g'ye eşittir; sürtünme katsayısı kütle bilinmeden bulunur. Kuvvetin uygulandığı evrede ise F − k·m·g = m·a yazılır; sürtünme bilindiği için uygulanan kuvvet hesaplanır. İki evreyi birlikte kullanmak, bu soruların standart çözüm yoludur.
Eğik düzlemde grafik
Eğik düzlemde yukarı fırlatılıp geri dönen cismin hız-zaman grafiği, zaman eksenini kesen ve kesim noktasında kırılan iki doğru parçasından oluşur. Çıkış bölümünün eğiminin büyüklüğü g·(sin θ + k·cos θ), iniş bölümününki g·(sin θ − k·cos θ) olur. İki eğimin toplamı 2·g·sin θ, farkı 2·k·g·cos θ verir; böylece hem eğim açısı hem sürtünme katsayısı bulunur. Sürtünme yoksa grafik kırılmaz; tek bir doğru olarak devam eder.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Yatay zeminde duran 2 kg kütleli bir kutu, yatay bir F kuvvetiyle çekiliyor ve 4. saniyede kuvvet kaldırılıyor. Kutunun hız-zaman grafiğinde hız 0–4 s aralığında sıfırdan 12 m/s'ye düzgün artıyor, 4–10 s aralığında düzgün azalarak sıfıra iniyor. Sürtünme katsayısı, F kuvveti ve kutunun aldığı toplam yol nedir? (g = 10 m/s²)
Çözüm. Kuvvet kaldırıldıktan sonra kutu yalnız sürtünmeyle yavaşlar: ivmenin büyüklüğü 12/6 = 2 m/s² olduğundan k·g = 2 ve k = 0,2 bulunur. Sürtünme kuvveti 0,2·20 = 4 N'dur. İlk evrede ivme 12/4 = 3 m/s² olur: F − 4 = 2·3 eşitliğinden F = 10 N çıkar. Toplam yol grafiğin altındaki üçgenin alanıdır: ½·10·12 = 60 m.
Örnek 2. Sabit bir eğik düzlemin alt ucundan düzlem boyunca yukarı doğru fırlatılan bir bloğun hız-zaman grafiği çiziliyor; yukarı yön pozitif alınıyor. Hız başlangıçta 11 m/s'dir, düzgün azalarak 1. saniyede sıfır oluyor, sonra yine düzgün değişerek 2. saniyede −5 m/s oluyor. Eğim açısı ve sürtünme katsayısı nedir? (g = 10 m/s²; sin 53° = 0,8; cos 53° = 0,6)
Çözüm. Çıkışta ivmenin büyüklüğü 11/1 = 11 m/s², inişte 5/1 = 5 m/s² olur. Çıkış için g·sin θ + k·g·cos θ = 11, iniş için g·sin θ − k·g·cos θ = 5 yazılır. İki eşitlik toplanırsa 2·g·sin θ = 16, yani sin θ = 0,8 ve θ = 53° bulunur. Çıkarılırsa 2·k·g·cos θ = 6, yani k·cos θ = 0,3 olur; cos 53° = 0,6 olduğundan k = 0,5 çıkar. Blok 5,5 m yükselmiş, sonraki bir saniyede 2,5 m geri kaymıştır; henüz alt uca dönmemiştir.
Sık yapılan hatalar
- Grafiğin eğimi yerine hız değerini kütleyle çarpıp kuvvet bulmaya çalışmak.
- Kuvvetin uygulandığı evrede net kuvveti uygulanan kuvvete eşit almak; sürtünme çıkarılmalıdır.
- Eğik düzlem grafiğinde iki bölümün eğimini eşit sanmak; sürtünme varsa çıkış bölümü daha diktir.
- Hız-zaman grafiğinin eğimi ivme, eğim çarpı kütle net kuvvettir.
- Yalnız sürtünmeyle yavaşlama evresinde eğimin büyüklüğü k·g olur.
- Eğik düzlemde eğimlerin toplamı 2·g·sin θ, farkı 2·k·g·cos θ verir.