Konu anlatımı
Rampadan kayan bir koli ya da yokuş yukarı itilen bir kutu, eğik düzlem sorularının günlük hayattaki karşılığıdır. Bu alt başlıkta ağırlığı eğik düzleme göre bileşenlerine ayırmayı, iniş ve çıkış ivmelerini ve cismin kayıp kaymayacağını belirlemeyi göreceksin.
Ağırlığın bileşenleri
Eğik düzlemde eksenler düzleme paralel ve düzleme dik seçilir. Eğim açısı θ ise ağırlığın düzleme paralel bileşeni m·g·sin θ, düzleme dik bileşeni m·g·cos θ olur. Paralel bileşen cismi düzlem boyunca aşağı çeker. Dik bileşen cismi düzleme bastırır; başka kuvvet yoksa tepki kuvveti N = m·g·cos θ olur ve ağırlıktan küçüktür. Eğim büyüdükçe paralel bileşen artar, tepki kuvveti azalır.
Sürtünmesiz eğik düzlem
Sürtünme yoksa düzlem boyunca net kuvvet yalnızca m·g·sin θ olur ve ivme a = g·sin θ bulunur. Bu ivme kütleye bağlı değildir: aynı rampada farklı kütleli cisimler aynı ivmeyle kayar. Yukarı doğru fırlatılan cisim de aynı büyüklükte ivmeyle yavaşlar, durur ve aynı ivmeyle geri döner; çıkış ve iniş süreleri eşittir ve cisim başladığı noktaya ilk hızının büyüklüğüyle döner.
Sürtünmeli eğik düzlem
Sürtünme kuvveti k·N = k·m·g·cos θ büyüklüğündedir ve kayma yönüne zıttır. Aşağı kayan cisimde a = g·(sin θ − k·cos θ) olur. Yukarı çıkan cisimde paralel bileşen de sürtünme de aşağı yönlüdür ve cisim g·(sin θ + k·cos θ) ivmesiyle yavaşlar. Çıkış ivmesi iniş ivmesinden büyük olduğundan çıkış süresi iniş süresinden kısadır ve cisim alt uca ilk hızından küçük bir hızla döner.
Kayma koşulu
Eğik düzleme bırakılan cismi kaydırmaya çalışan kuvvet m·g·sin θ, statik sürtünmenin üst sınırı ks·m·g·cos θ olur. Cisim ancak tan θ > ks ise kaymaya başlar; değilse durur ve statik sürtünme m·g·sin θ kadardır. Cisim düzlemde sabit hızla aşağı kayıyorsa paralel bileşen kinetik sürtünmeye eşittir ve k = tan θ olur. Yukarı fırlatılan cisim tepe noktasında durduğunda da aynı denetim yapılır: tan θ statik katsayıdan büyük değilse cisim geri dönmez, orada kalır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Eğim açısı 30° olan sürtünmesiz bir rampanın üst ucundan serbest bırakılan bir koli, rampa boyunca 10 m kayarak alt uca ulaşıyor. Kolinin ivmesi, iniş süresi ve alt uçtaki hızı nedir? (g = 10 m/s²; sin 30° = 0,5)
Çözüm. Sürtünme olmadığından ivme a = g·sin θ = 10·0,5 = 5 m/s² olur. Durgun hâlden başlayan cisim için x = ½·a·t² yazılır: 10 = ½·5·t², buradan t² = 4 ve t = 2 s bulunur. Alt uçtaki hız v = a·t = 5·2 = 10 m/s'dir. Sonuçların hiçbiri kolinin kütlesine bağlı değildir.
Örnek 2. Eğim açısı 53° olan pürüzlü bir rampanın alt ucundaki kutuya rampa boyunca yukarı doğru 16 m/s'lik hız veriliyor. Kutu ile rampa arasındaki statik ve kinetik sürtünme katsayısı 0,8'dir. Kutu rampada ne kadar yol çıkar, alt uca hangi hızla ve toplam kaç saniyede döner? (g = 10 m/s²; sin 53° = 0,8; cos 53° = 0,6)
Çözüm. Çıkışta paralel bileşen ve sürtünme aynı yönlüdür: a = 10·(0,8 + 0,8·0,6) = 12,8 m/s². Çıkılan yol v₀²/(2·a) = 16²/(2·12,8) = 10 m, çıkış süresi 16/12,8 = 1,25 s'dir. tan 53° = 4/3 değeri sürtünme katsayısından büyük olduğu için kutu durduğu noktada kalmaz, geri kayar. İnişte sürtünme yön değiştirir: a = 10·(0,8 − 0,8·0,6) = 3,2 m/s². Dönüş hızı için v² = 2·3,2·10 = 64 ve v = 8 m/s bulunur. İniş süresi 10 = ½·3,2·t² eşitliğinden t = 2,5 s'dir. Toplam süre 1,25 + 2,5 = 3,75 s olur. Kutu ilk hızının yarısıyla dönmüş, inişi çıkışın iki katı sürmüştür.
Örnek 3. Bir kutu, eğim açısı 37° olan bir rampada hafifçe itildiğinde sabit hızla aşağı kayıyor. Kutu ile rampa arasındaki kinetik sürtünme katsayısı kaçtır? (sin 37° = 0,6; cos 37° = 0,8)
Çözüm. Hız sabit olduğundan düzlem boyunca net kuvvet sıfırdır: m·g·sin θ = k·m·g·cos θ. Kütle ve g sadeleşir; k = sin θ/cos θ = tan θ = 0,6/0,8 = 0,75 bulunur. Sonuç kutunun kütlesine bağlı değildir. Eğim bu açıdan büyük olsaydı kutu hızlanarak, küçük olsaydı yavaşlayarak kayardı.
Sık yapılan hatalar
- Tepki kuvvetini m·g almak; eğik düzlemde N = m·g·cos θ olur.
- Çıkışta ve inişte aynı ivmeyi kullanmak; sürtünme varsa çıkış ivmesi daha büyüktür.
- Paralel bileşeni kosinüsle, dik bileşeni sinüsle yazmak.
- Tepe noktasında duran cismin her zaman geri kayacağını varsaymak; tan θ statik katsayıyı aşmıyorsa cisim orada kalır.
- Ağırlığın bileşenleri: paralel m·g·sin θ, dik m·g·cos θ; N = m·g·cos θ.
- İniş ivmesi g·(sin θ − k·cos θ), çıkıştaki yavaşlama g·(sin θ + k·cos θ).
- Kayma koşulu tan θ > ks; sabit hızla kaymada k = tan θ.