Konu anlatımı
Bir römork çeken otomobil ya da makaradan geçen bir ipin iki ucundaki yükler birlikte hareket eder. Bu alt başlıkta iple bağlı cisimlerin ortak ivmesini ve ipteki gerilme kuvvetini bulmayı göreceksin. Sorularda ipin ve makaranın kütlesi önemsiz, makara sürtünmesiz kabul edilir.
Ortak ivme ve sistem yaklaşımı
Gergin ve esnemeyen bir iple bağlı cisimler aynı sürede aynı yolu alır; bu yüzden hızlarının ve ivmelerinin büyüklüğü eşittir. Kütlesi önemsiz ipin her noktasındaki gerilme aynıdır; ip iki ucundaki cisimleri eşit büyüklükte kuvvetle çeker. İvmeyi bulmak için cisimlerin tümü tek bir sistem olarak düşünülür: ivme = sistemi hareket ettiren net kuvvet / toplam kütle. İp gerilmeleri sistemin iç kuvvetleridir; birbirini götürdüğü için bu hesapta yer almaz.
Gerilmenin bulunması
İvme bulunduktan sonra cisimlerden biri sistemden ayrılır ve yalnızca ona etkiyen kuvvetlerle Fnet = m·a yazılır. Hangi cismi seçersen seç aynı gerilmeyi bulursun; daha az kuvvet etkiyen cismi seçmek işlemi kısaltır. Yatay düzlemde arka arkaya bağlı iki cisimden öndeki çekiliyorsa ip yalnızca arkadaki cismi hızlandırır; bu yüzden gerilme, çeken kuvvetten küçüktür ve arkadaki kütle büyüdükçe artar.
Makaradan geçen ip
Sabit bir makaradan geçen ipin uçlarına asılan iki kütleden ağır olan aşağı, hafif olan yukarı doğru hızlanır. Sistemi hareket ettiren net kuvvet ağırlıkların farkıdır: a = (m₁ − m₂)·g/(m₁ + m₂). Gerilme, iki ağırlığın arasında bir değerdir: hafif cismi yukarı hızlandıracak kadar büyük, ağır cismin inmesine izin verecek kadar küçüktür. Cisimlerden biri masa üzerindeyse onun ağırlığı sistemi hareket ettirmez; hareket ettiren kuvvet asılı cismin ağırlığı, karşı koyan kuvvet masadaki cismin sürtünmesidir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Sürtünmesiz yatay düzlemde 2 kg ve 3 kg kütleli iki kutu birbirine iple bağlıdır. 3 kg'lık kutu 20 N'luk yatay kuvvetle çekiliyor ve 2 kg'lık kutu onu izliyor. Sistemin ivmesi ve ip gerilmesi nedir? Kuvvet 2 kg'lık kutuya uygulansaydı gerilme ne olurdu?
Çözüm. Sistemi hareket ettiren net kuvvet 20 N, toplam kütle 5 kg'dır: a = 20/5 = 4 m/s². İp yalnızca arkadaki 2 kg'lık kutuyu hızlandırır: T = 2·4 = 8 N. Kuvvet 2 kg'lık kutuya uygulansaydı ivme yine 4 m/s² olurdu, ama bu kez ip arkadaki 3 kg'lık kutuyu çekerdi: T = 3·4 = 12 N. İvme aynı kalırken gerilme, ipin çektiği kütleye göre değişmiştir.
Örnek 2. Sürtünmesiz sabit bir makaradan geçen ipin bir ucuna 3 kg, öbür ucuna 2 kg kütleli cisimler asılıp serbest bırakılıyor. Cisimlerin ivmesi ve ip gerilmesi nedir? (g = 10 m/s²)
Çözüm. Ağırlıklar 30 N ve 20 N'dur. Sistemi hareket ettiren net kuvvet farkları, hızlanan kütle ise toplamlarıdır: a = (30 − 20)/5 = 2 m/s². 3 kg'lık cisim aşağı, 2 kg'lık cisim yukarı hızlanır. Gerilme için yukarı hızlanan 2 kg'lık cisme bakılır: T − 20 = 2·2, buradan T = 24 N. Denetim için 3 kg'lık cisim: 30 − T = 3·2 eşitliği de T = 24 N verir. Gerilme iki ağırlığın arasındadır.
Örnek 3. Yatay bir masanın üzerindeki 6 kg kütleli blok, masanın kenarındaki makaradan geçen iple 4 kg kütleli asılı bir cisme bağlıdır. Blok ile masa arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0,25'tir. Sistem hareket hâlindeyken ivme ve ip gerilmesi nedir? (g = 10 m/s²)
Çözüm. Bloğa etkiyen sürtünme kuvveti 0,25·60 = 15 N'dur. Sistemi hareket ettiren kuvvet asılı cismin ağırlığıdır: 40 N. Toplam kütle 10 kg olduğundan a = (40 − 15)/10 = 2,5 m/s² bulunur. Asılı cisim için 40 − T = 4·2,5 yazılır ve T = 30 N çıkar. Denetim için blok: T − 15 = 6·2,5 eşitliği de aynı sonucu verir. Bloğun ağırlığı düşey olduğu için sistemi hareket ettirmez; yalnızca tepki kuvveti üzerinden sürtünmeyi belirler.
Sık yapılan hatalar
- İp gerilmesini asılı cismin ağırlığına eşit almak; cisim ivmeliyse gerilme ağırlıktan farklıdır.
- Sistemin ivmesini bulurken ip gerilmesini de net kuvvete katmak.
- Masadaki cismin ağırlığını sistemi hareket ettiren kuvvetlere eklemek.
- Gergin iple bağlı cisimlerin ivme büyüklükleri eşittir.
- İvme = hareket ettiren net kuvvet / toplam kütle; gerilme için tek cisim incelenir.
- Makarada asılı iki kütle için a = (m₁ − m₂)·g/(m₁ + m₂).