Konu anlatımı
Bilardo toplarının ya da çelik bilyelerin çarpışmasında kinetik enerji kaybı çok azdır. Kinetik enerjinin de korunduğu ideal çarpışmaya esnek çarpışma denir. Bu alt başlıkta aynı doğru üzerindeki esnek çarpışmaların nasıl çözüldüğünü göreceksin.
İki korunum birlikte
Esnek çarpışmada hem toplam momentum hem toplam kinetik enerji korunur. Cisimler çarpışma sırasında biçim değiştirir, ama sonra eski biçimlerine tümüyle döner; ısıya dönüşen enerji olmaz. Çarpışmadan önceki hızlar v₁ ve v₂, sonraki hızlar u₁ ve u₂ ise momentum korunumu m₁·v₁ + m₂·v₂ = m₁·u₁ + m₂·u₂ biçiminde yazılır. Çarpışma, cisimlerin merkezlerini birleştiren doğru boyunca gerçekleşiyorsa merkezî çarpışma adını alır ve hareket tek boyutta kalır.
Hız bağıntısı
Kinetik enerji korunumu kareli terimler içerdiği için doğrudan çözmek uzundur. Momentum ve kinetik enerji korunumu birlikte düzenlendiğinde merkezî esnek çarpışma için sade bir eşitlik elde edilir: v₁ + u₁ = v₂ + u₂. Yani her cismin çarpışmadan önceki ve sonraki hızlarının toplamı birbirine eşittir. Sorular, bu eşitlik ile momentum korunumu birlikte çözülerek sonuçlandırılır. Bütün hızlar işaretleriyle yazılır; sonuç negatif çıkarsa cisim seçilen pozitif yöne zıt gidiyordur.
Özel durumlar
Kütleleri eşit iki cisim merkezî esnek çarpışırsa hızlarını değiş tokuş eder: duran bir bilyeye çarpan özdeş bilye durur, öbürü onun hızıyla yoluna devam eder. Hafif bir cisim duran çok ağır bir cisme çarparsa neredeyse aynı süratle geri döner; ağır cisim hemen hemen yerinde kalır. Çok ağır bir cisim duran hafif bir cisme çarparsa kendi hızı az değişir, hafif cisim ise yaklaşık iki katı hızla fırlar. Duran bir cisme çarpan cisim, yalnızca kütlesi öbüründen küçükse geri döner.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Sürtünmesiz yatay düzlemde +x yönünde 6 m/s hızla giden 1 kg kütleli K cismi, duran 2 kg kütleli L cismiyle merkezî esnek çarpışma yapıyor. Çarpışmadan sonra cisimlerin hızları nedir?
Çözüm. Hız bağıntısı: v₁ + u₁ = v₂ + u₂, yani 6 + u₁ = 0 + u₂ ve u₂ = u₁ + 6. Momentum korunumu: 1·6 = 1·u₁ + 2·u₂. İkinci eşitlikte u₂ yerine konursa 6 = u₁ + 2·(u₁ + 6), buradan 3·u₁ = −6 ve u₁ = −2 m/s; u₂ = 4 m/s bulunur. K cismi 2 m/s hızla geri döner, L cismi 4 m/s hızla ileri gider. Denetim: kinetik enerji önce ½·1·6² = 18 J, sonra ½·1·2² + ½·2·4² = 2 + 16 = 18 J'dür.
Örnek 2. Sürtünmesiz yatay düzlemde 3 kg kütleli K cismi +x yönünde 4 m/s, 1 kg kütleli L cismi −x yönünde 4 m/s hızla gelerek merkezî esnek çarpışıyor. Çarpışmadan sonraki hızları bulunuz.
Çözüm. Hızlar işaretleriyle yazılır: v₁ = +4 m/s, v₂ = −4 m/s. Hız bağıntısı: 4 + u₁ = −4 + u₂, yani u₂ = u₁ + 8. Momentum korunumu: 3·4 + 1·(−4) = 3·u₁ + 1·u₂, yani 8 = 3·u₁ + u₁ + 8. Buradan u₁ = 0 ve u₂ = 8 m/s bulunur. K cismi durur, L cismi +x yönünde 8 m/s hızla geri fırlar. Kinetik enerji önce ½·3·4² + ½·1·4² = 32 J, sonra ½·1·8² = 32 J'dür; korunmuştur.
Örnek 3. Sürtünmesiz bir masada 6 m/s hızla giden 2 kg kütleli bilye, duran özdeş bir bilyeyle merkezî esnek çarpışıyor. Çarpışmadan sonra bilyelerin hızları ne olur?
Çözüm. Kütleler eşit olduğundan bilyeler hızlarını değiş tokuş eder: gelen bilye durur, duran bilye 6 m/s hızla aynı yönde gider. Denetim: momentum önce 2·6 = 12 kg·m/s, sonra yine 12 kg·m/s'dir; kinetik enerji iki durumda da 36 J'dür. Hız bağıntısı da sağlanır: 6 + 0 = 0 + 6.
Sık yapılan hatalar
- Esnek çarpışmada cisimlerin kenetlendiğini ya da ortak hızla gittiğini varsaymak.
- Hız bağıntısında zıt yönlü hızın eksi işaretini unutmak.
- Eşit kütlelerdeki hız değiş tokuşu kuralını farklı kütleli cisimlere uygulamak.
- Esnek çarpışmada momentum ve kinetik enerji birlikte korunur.
- Merkezî esnek çarpışmada v₁ + u₁ = v₂ + u₂.
- Eşit kütleli cisimler hızlarını değiş tokuş eder.