Konu anlatımı
Bir binanın çatısından ya da bir uçurumun kenarından yapılan atışlarda cisim atıldığı düzeyin altına iner; yerden atışın simetrisi bozulur. Bu alt başlıkta yüksekten yukarı ve aşağı doğru eğik atışları en kısa yoldan çözmeyi göreceksin.
Tek denklemle süre
Yüksekten yukarı doğru eğik atılan cisim önce yükselir, tepe noktasından geçer, atış düzeyine iner ve yere kadar düşmeye devam eder. Hareketi bu parçalara bölmek yerine düşey hareket için tek bir konum denklemi yazabilirsin. Yukarı yön pozitif seçilir; atış noktasının h kadar altındaki yere ulaşma, −h yer değiştirmesi demektir: −h = v₀·sin θ·t − ½·g·t². İkinci dereceden bu denklemin pozitif kökü uçuş süresidir. Uçuş süresi artık çıkış süresinin iki katı değildir; iniş daha uzun sürer.
Yatay uzaklık ve en büyük yükseklik
Süre bulununca yatay uzaklık x = v₀·cos θ·t ile hesaplanır. Cismin yerden en büyük yüksekliği, atış yüksekliğine atış noktasından itibaren çıkılan (v₀·sin θ)²/(2·g) değeri eklenerek bulunur. Yere çarpma anında düşey hız vy = v₀·sin θ − g·t olur ve negatif çıkar; yatay hız değişmemiştir. Çarpma hızının büyüklüğü bileşenlerden ya da doğrudan v² = v₀² + 2·g·h bağıntısından bulunur.
Aşağı doğru eğik atış
Cisim yatayın altına doğru atılmışsa düşey ilk hızı da aşağı yönlüdür. Bu durumda aşağı yönü pozitif seçmek kolaylık sağlar: h = v₀·sin θ·t + ½·g·t². Cisim hiç yükselmez; yere, aynı hızla yukarı doğru atılan cisimden çok daha kısa sürede ulaşır ve daha yakına düşer. Yine de ikisinin yere çarpma süratleri eşittir, çünkü aynı yükseklikten aynı süratle atılmışlardır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Yerden 35 m yükseklikteki bir uçurumun kenarından bir taş, yatayla 37° açı yapacak biçimde yukarı doğru 50 m/s hızla atılıyor. Taş yere kaç saniyede düşer, uçurumun dibinden kaç metre uzağa düşer, yerden en çok kaç metre yükselir ve yere hangi hızla çarpar? (Hava direnci önemsiz; g = 10 m/s²; sin 37° = 0,6; cos 37° = 0,8)
Çözüm. Yatay hız 50·0,8 = 40 m/s, düşey ilk hız 50·0,6 = 30 m/s'dir. Yukarı yön pozitif alınır: −35 = 30·t − 5·t², yani t² − 6·t − 7 = 0; pozitif kök t = 7 s'dir. Yatay uzaklık 40·7 = 280 m olur. Taş atış noktasından 30²/(2·10) = 45 m yükselir; yerden en büyük yüksekliği 35 + 45 = 80 m'dir. Çarpma anında düşey hız 30 − 10·7 = −40 m/s'dir; çarpma hızı √(40² + 40²) = 40√2 m/s, yani yaklaşık 56,6 m/s olur.
Örnek 2. Yerden 35 m yükseklikteki aynı uçurumun kenarından ikinci bir taş, yatayla 37° açı yapacak biçimde bu kez aşağı doğru 50 m/s hızla atılıyor. Taş yere kaç saniyede ve hangi hızla çarpar, uçurumun dibinden kaç metre uzağa düşer? (Hava direnci önemsiz; g = 10 m/s²; sin 37° = 0,6; cos 37° = 0,8)
Çözüm. Yatay hız yine 40 m/s, düşey ilk hız aşağı doğru 30 m/s'dir. Aşağı yön pozitif alınır: 35 = 30·t + 5·t², yani t² + 6·t − 7 = 0; pozitif kök t = 1 s'dir. Yatay uzaklık 40·1 = 40 m olur. Çarpma anında düşey hız 30 + 10·1 = 40 m/s'dir; çarpma hızı yine √(40² + 40²) = 40√2 m/s çıkar. İki taş aynı yükseklikten aynı süratle atıldığı için yere aynı süratle çarpmıştır; ama biri 7 saniyede 280 m, öbürü 1 saniyede 40 m uzağa düşmüştür.
Sık yapılan hatalar
- Uçuş süresini 2·v₀·sin θ/g almak; bu yalnızca cismin atış düzeyine dönme süresidir.
- Denklemde yer değiştirmeyi +h yazmak; yukarı yön pozitifse yer atış noktasının altındadır ve yer değiştirme −h olur.
- İkinci dereceden denklemin negatif kökünü süre olarak almak.
- Yukarı eğik atış: −h = v₀·sin θ·t − ½·g·t²; aşağı eğik atış: h = v₀·sin θ·t + ½·g·t².
- Yerden en büyük yükseklik = atış yüksekliği + (v₀·sin θ)²/(2·g).
- Çarpma sürati v² = v₀² + 2·g·h ile bulunur; atışın yönüne bağlı değildir.