Konu anlatımı
Aynı hızla atılan bir topu en uzağa göndermek için hangi açıyla atmalısın? Bu alt başlıkta menzilin atış hızına ve açısına nasıl bağlı olduğunu, eşit menzil veren açıları ve açının uçuş süresi ile yüksekliğe etkisini göreceksin.
Menzil bağıntısı
Menzil, yatay hız ile uçuş süresinin çarpımıdır: R = v₀·cos θ·(2·v₀·sin θ/g) = 2·v₀²·sin θ·cos θ/g. Trigonometrideki 2·sin θ·cos θ = sin 2θ özdeşliğiyle bu bağıntı R = v₀²·sin 2θ/g biçiminde de yazılır. Menzil atış hızının karesiyle orantılıdır: aynı açıyla atışta hız iki katına çıkarsa menzil dört katına çıkar. Bağıntı yalnızca atış ve iniş noktaları aynı düzeydeyken ve hava direnci ihmal edildiğinde geçerlidir.
En büyük menzil ve eşit menziller
sin 2θ en büyük değerini 2θ = 90° iken alır; bu yüzden aynı hızla atışta en büyük menzil 45°'de elde edilir ve v₀²/g olur. Toplamı 90° olan iki açı için sin θ·cos θ çarpımı aynıdır; bu yüzden 30° ile 60°, 37° ile 53° gibi açı çiftleriyle yapılan atışların menzilleri eşittir. Açı 45°'den ne kadar uzaklaşırsa menzil o kadar kısalır; 0° ve 90°'de menzil sıfırdır.
Açının yüksekliğe ve süreye etkisi
Aynı hızla atışta açı büyüdükçe düşey ilk hız v₀·sin θ artar; cisim daha yükseğe çıkar ve havada daha uzun kalır. Yatay hız v₀·cos θ ise azalır. Menzilleri eşit olan iki atıştan açısı büyük olan daha yüksekten ve daha uzun sürede gider. Aynı hızla yapılan iki atışta en büyük yüksekliklerin oranı, açıların sinüslerinin karelerinin oranına eşittir. Dik atışta, yani 90°'de yükseklik ve uçuş süresi en büyük, menzil sıfırdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir top yerden 20 m/s hızla önce 37°, sonra 53° açıyla atılıyor. İki atışın menzilini, en büyük yüksekliğini ve uçuş süresini karşılaştırınız. Aynı hızla en büyük menzil kaç metredir? (Hava direnci önemsiz; g = 10 m/s²; sin 37° = 0,6; cos 37° = 0,8)
Çözüm. Menzil iki açı için de aynıdır: R = 2·20²·0,6·0,8/10 = 38,4 m. 37° atışında düşey ilk hız 12 m/s'dir: en büyük yükseklik 12²/20 = 7,2 m, uçuş süresi 2·12/10 = 2,4 s. 53° atışında düşey ilk hız 16 m/s'dir: en büyük yükseklik 16²/20 = 12,8 m, uçuş süresi 3,2 s. Açısı büyük olan atış daha yükseğe çıkmış ve havada daha uzun kalmış, ama aynı uzaklığa düşmüştür. En büyük menzil 45° atışında elde edilir: v₀²/g = 400/10 = 40 m.
Örnek 2. Yerden 30 m/s hızla 30° ve 60° açılarla atılan iki cismin menzilleri ve en büyük yükseklikleri nedir? (Hava direnci önemsiz; g = 10 m/s²; sin 30° = cos 60° = 0,5; sin 60° = cos 30° = √3/2)
Çözüm. Açıların toplamı 90° olduğundan menziller eşittir: R = 2·30²·0,5·(√3/2)/10 = 45√3 m, yani yaklaşık 77,9 m. 30° atışında düşey ilk hız 15 m/s'dir; en büyük yükseklik 15²/20 = 11,25 m olur. 60° atışında düşey ilk hız 15√3 m/s'dir; en büyük yükseklik (15√3)²/20 = 675/20 = 33,75 m olur. Yüksekliklerin oranı 1'e 3'tür. Aynı hızla 45° atışında menzil 30²/10 = 90 m olurdu; iki atış da bu değerin altında kalmıştır.
Sık yapılan hatalar
- Açı büyüdükçe menzilin hep arttığını sanmak; menzil 45°'ye kadar artar, sonra azalır.
- Menzilleri eşit olan iki atışın uçuş sürelerini de eşit saymak.
- 45° kuralını yüksekten yapılan atışlara da uygulamak.
- R = 2·v₀²·sin θ·cos θ/g = v₀²·sin 2θ/g.
- En büyük menzil 45°'de v₀²/g olur; toplamı 90° olan açılarda menziller eşittir.
- Açı büyüdükçe yükseklik ve uçuş süresi artar.