Konu anlatımı
Kaleye şut çeken bir futbolcunun topu ya da fıskiyeden çıkan su, yerden eğik atış hareketi yapar. Bu alt başlıkta eğik atışın temel büyüklüklerini, simetri özelliklerini ve tersine sorulan soruları göreceksin.
Temel büyüklükler
Yatayla θ açısı yapan v₀ hızıyla atılan cismin düşey ilk hızı v₀·sin θ, yatay hızı v₀·cos θ olur. Düşey hareket yukarı doğru atıştır: cisim v₀·sin θ/g sürede tepe noktasına çıkar ve aynı sürede geri iner; uçuş süresi 2·v₀·sin θ/g olur. En büyük yükseklik (v₀·sin θ)²/(2·g) bağıntısıyla bulunur. Menzil, yatay hız ile uçuş süresinin çarpımıdır: R = v₀·cos θ·t. Uçuş süresi ve en büyük yükseklik yalnızca düşey ilk hıza bağlıdır; iki atışın düşey ilk hızları eşitse havada kalma süreleri ve çıktıkları yükseklik de eşittir.
Tepe noktası ve simetri
Tepe noktasında düşey hız sıfırdır; cismin hızı yataydır ve büyüklüğü v₀·cos θ olur. Bu, hızın hareket boyunca aldığı en küçük değerdir. İvme tepe noktasında da g'dir ve aşağı yönlüdür; hız ile ivme bu noktada birbirine diktir. Yörünge tepe noktasından geçen düşey doğruya göre simetriktir: tepe noktası menzilin tam ortasının üstündedir, aynı yükseklikteki iki noktada hızların büyüklükleri eşittir ve cisim yere atıldığı hızın büyüklüğüyle, yatayla aynı açıyı yaparak çarpar.
Yörüngeden atış hızını bulmak
Bazı sorularda atış hızı yerine yörüngeye ait bilgiler verilir. En büyük yükseklik biliniyorsa çıkış süresi t = √(2·h/g) ve düşey ilk hız g·t bulunur. Tepe noktasının yatay uzaklığı ya da menzil biliniyorsa yatay hız, yatay yolun süreye bölünmesiyle elde edilir. İki bileşen bulunduktan sonra atış hızı v₀ = √(vx² + vy²), atış açısı tan θ = vy/vx ile hesaplanır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Yerden, yatayla 30° açı yapacak biçimde 40 m/s hızla atılan bir cismin çıkış süresi, uçuş süresi, en büyük yüksekliği ve menzili nedir? (Hava direnci önemsiz; g = 10 m/s²; sin 30° = 0,5; cos 30° = √3/2)
Çözüm. Düşey ilk hız 40·0,5 = 20 m/s, yatay hız 40·√3/2 = 20√3 m/s, yani yaklaşık 34,6 m/s'dir. Çıkış süresi 20/10 = 2 s, uçuş süresi 4 s'dir. En büyük yükseklik 20²/(2·10) = 20 m olur. Menzil yatay hız ile uçuş süresinin çarpımıdır: 20√3·4 = 80√3 m, yani yaklaşık 139 m. Tepe noktasında cismin hızı 20√3 m/s'dir.
Örnek 2. Yerden eğik atılan bir topun yörüngesinde tepe noktası yerden 11,25 m yüksekliktedir ve atış noktasına yatay uzaklığı 30 m'dir. Topun atış hızının büyüklüğü, atış açısı ve menzili nedir? (Hava direnci önemsiz; g = 10 m/s²)
Çözüm. Tepe noktasına çıkış süresi 11,25 = ½·10·t² eşitliğinden t = 1,5 s bulunur. Düşey ilk hız g·t = 10·1,5 = 15 m/s'dir. Top bu sürede yatayda 30 m ilerlediğine göre yatay hız 30/1,5 = 20 m/s'dir. Atış hızı √(20² + 15²) = 25 m/s olur. tan θ = 15/20 = 3/4 olduğundan atış açısı 37°'dir. Tepe noktası menzilin ortasında olduğundan menzil 2·30 = 60 m'dir.
Sık yapılan hatalar
- Tepe noktasında hızın ve ivmenin sıfır olduğunu sanmak; hız v₀·cos θ, ivme g'dir.
- Menzili v₀ ile uçuş süresini çarparak bulmak; yalnız yatay bileşen kullanılır.
- En büyük yüksekliği v₀²/(2·g) ile hesaplamak; yalnız düşey bileşen v₀·sin θ kullanılır.
- Çıkış süresi v₀·sin θ/g, uçuş süresi 2·v₀·sin θ/g.
- En büyük yükseklik (v₀·sin θ)²/(2·g); menzil = v₀·cos θ · uçuş süresi.
- Tepe noktasında hız v₀·cos θ olur; yörünge tepe noktasına göre simetriktir.