Konu anlatımı
Atılan cisim her zaman yere düşmez; yolunda bir duvar, bir file ya da bir hedef olabilir. Bu alt başlıkta cismin belli bir yatay uzaklıktaki engele hangi yükseklikte, hangi hızla ve hareketinin hangi evresinde ulaştığını bulmayı göreceksin.
Çözüm sırası
Engelin yatay uzaklığı d ise cismin oraya ulaşma süresi yalnızca yatay hareketten bulunur: t = d/vx. Bu süre düşey hareket denkleminde yerine konur ve cismin o andaki yüksekliği hesaplanır: y = v₀·sin θ·t − ½·g·t². Aynı süreyle düşey hız vy = v₀·sin θ − g·t bulunur; çarpma hızının büyüklüğü √(vx² + vy²) olur. Çözüme başlamadan önce cismin duvara ulaşmadan yere düşmediğini denetle: duvarın uzaklığı menzilden küçük, yani ulaşma süresi uçuş süresinden kısa olmalıdır.
Yükselirken mi, alçalırken mi?
Duvara ulaşma süresi çıkış süresinden kısaysa cisim yükselirken, uzunsa alçalırken çarpar; iki süre eşitse cisim tam tepe noktasında, yatay hızla çarpar. Aynı sonuç düşey hızın işaretinden de okunur: pozitifse cisim yükselmektedir, negatifse alçalmaktadır. Tersine sorularda çarpma yüksekliği verilir ve uzaklık sorulur; bu durumda düşey denklem iki süre verir: küçük olan yükselirken, büyük olan alçalırken o yükseklikten geçiş anıdır.
Yatay atışta engel ve hedef
Yatay atılan cisimde düşey ilk hız sıfırdır; engele ulaşma süresi yine t = d/v₀ olur ve cisim bu sürede ½·g·t² kadar alçalır. Cismin engel hizasındaki yüksekliği, atış yüksekliğinden bu düşme çıkarılarak bulunur. Bu yükseklik engelin yüksekliğinden büyükse cisim engeli aşar. Aynı uzaklıktaki duvara farklı hızlarla yatay atılan cisimlerden hızlı olan daha kısa sürede ulaşır, daha az düşer ve duvara daha yüksekte çarpar.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Yerden, yatayla 53° açı yapacak biçimde 40 m/s hızla atılan bir top, atış noktasından yatayda 120 m uzaktaki yüksek ve düşey bir duvara çarpıyor. Top duvara hangi yükseklikte, hangi hızla ve yükselirken mi alçalırken mi çarpar? (Hava direnci önemsiz; g = 10 m/s²; sin 53° = 0,8; cos 53° = 0,6)
Çözüm. Yatay hız 40·0,6 = 24 m/s, düşey ilk hız 40·0,8 = 32 m/s'dir. Top duvara 120/24 = 5 s'de ulaşır; uçuş süresi 6,4 s olduğundan yere düşmeden duvara varır. Bu anda yükseklik 32·5 − 5·5² = 160 − 125 = 35 m'dir. Düşey hız 32 − 10·5 = −18 m/s'dir; işaret negatif olduğundan top alçalırken çarpar (çıkış süresi 3,2 s'dir). Çarpma hızı √(24² + 18²) = 30 m/s olur. Kinetik enerji hızın karesiyle orantılı olduğundan çarpma anındaki kinetik enerji, atış anındakinin 900/1600 = 9/16 katıdır.
Örnek 2. Bir tenisçi topa yerden 2,45 m yükseklikte vuruyor ve top yatay doğrultuda 30 m/s hızla ayrılıyor. File 12 m ileride ve 0,9 m yüksekliğindedir. Top fileyi aşar mı? Top vuruş noktasından yatayda kaç metre uzakta yere düşer? (Hava direnci önemsiz; g = 10 m/s²)
Çözüm. Top file hizasına 12/30 = 0,4 s'de ulaşır. Bu sürede ½·10·0,4² = 0,8 m alçalır; file hizasındaki yüksekliği 2,45 − 0,8 = 1,65 m olur. Bu değer file yüksekliği olan 0,9 m'den büyük olduğu için top fileyi 0,75 m yukarıdan aşar. Yere düşme süresi 2,45 = ½·10·t² eşitliğinden t² = 0,49 ve t = 0,7 s bulunur. Top vuruş noktasından yatayda 30·0,7 = 21 m uzakta yere düşer.
Örnek 3. Yerden, yatayla 53° açı yapacak biçimde 20 m/s hızla atılan bir top düşey bir duvara yerden 12 m yükseklikte çarpıyor. Duvarın atış noktasına yatay uzaklığı kaç metre olabilir? (Hava direnci önemsiz; g = 10 m/s²; sin 53° = 0,8; cos 53° = 0,6)
Çözüm. Yatay hız 20·0,6 = 12 m/s, düşey ilk hız 20·0,8 = 16 m/s'dir. Yükseklik denklemi 16·t − 5·t² = 12, yani 5·t² − 16·t + 12 = 0 olur. Kökler t = 1,2 s ve t = 2 s'dir. Çıkış süresi 1,6 s olduğundan top 12 m yükseklikten 1,2. saniyede yükselirken, 2. saniyede alçalırken geçer. Duvar, top yükselirken çarpıyorsa 12·1,2 = 14,4 m, alçalırken çarpıyorsa 12·2 = 24 m uzaktadır. Soruda hangi evrede çarptığı belirtilmişse yalnızca o kök alınır.
Sık yapılan hatalar
- Duvara ulaşma süresini toplam hız v₀ ile hesaplamak; süre yatay bileşenle bulunur.
- Duvara çarpma hızını atış hızına eşit almak; yükseklik değiştiği için sürat de değişir.
- Cismin duvara ulaşmadan yere düşüp düşmediğini denetlememek.
- Duvara ulaşma süresi t = d/vx; yükseklik ve düşey hız bu süreyle bulunur.
- Ulaşma süresi çıkış süresinden küçükse cisim yükselirken, büyükse alçalırken çarpar.
- Yatay atışta engel hizasındaki yükseklik = atış yüksekliği − ½·g·t².